Демидов Александр Сергеевич
«Прямые и обратные задачи для эллиптических дифференциальных и псевдо-дифференциальных уравнений»
Описание курса:
Курс состоит из двух независимых полугодовых спецкурсов (частей), объединенных общей темой: "Прямые и обратные задачи для эллиптических дифференциальных и псевдо-дифференциальных уравнений". Первая часть курса, намеченная на весенний семестр 2022 года, будет включать фундаментальные вопросы, являющиеся основой современной теории уравнений с частными производными. А именно: пространства Соболева, псевдо-дифференциальные операторы, общая теория эллиптических краевых задач. Дополнительно к этим классическим темам, в первой части курса будут изложены недавние результаты автора по обратной и центральной задачам магнитной электроэнцефалографии, а также опубликованные в 2021 году явные численно реализуемые формулы для решения эллиптических линейных и нелинейных уравнений с данными Коши на аналитической границе. Вторая часть курса, намеченная на осенний семестр 2022 года, будет посвящена исключительно конкретным задачам для эллиптических уравнений: таких, как: прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаках, задача Стокса--Лейбензона для течения Hele-Shaw, эллиптические задачи со свободной границей на экстремум (включая различные задачи обтекания), задача Олейник-Темама об усреднении и экспоненциально точные высокочастотные асимптотики для эллиптических уравнений.
План курса:
Лекция 1
Уравнение Лапласа. Дельта функция и фундаментальное решение. Принцип суперпозиции. Формула Пуассона.
Сильный принцип максимума. Лемма Жиро--Хопфа--Олейник о граничной производной.
Лекция 2
Интеграл Лебега: основные определения и результаты. Пространства Рисса. Регуляризация по Стеклову.
Лекция 3
Пространство обобщенных функций по Соболеву как пространство производных конечного порядка локально интегрируемых функций.
Лекция 4
Теорема Э. Бореля о функции с наперед заданными значениями производных в точке. Обобщенные функции с точечным носителем. Топология в базовом пространстве для распределений Л. Шварца и ее определение через производные по Соболеву локально интегрируемых функций.
Лекция 5
Теорема Питре о линейном дифференциальном операторе как операторе, обладающем свойством локальности.
Теорема Хермандера, характеризующая дифференциальный оператор через его коммутацию с осциллирующей экспонентой.
Лекция 6
Преобразование Фурье в S и в S'. Теорема Пэли-Винера.
Лекция 7
Пространства H^s в R^n и в области G из R^n. Теоремы Соболева о вложении, о следах и теорема о компактности вложения.
Лекция 8
Псевдо-дифференциальные операторы. Эллиптические операторы. Априорная оценка и теорема о гладкости решений эллиптических дифференциальных и псевдо-дифференциальных уравнений. Непрерывный псевдо-дифференциальный оператор продолжения из H^s(G) в H^s(R^n) для любого (!) вещественного s.
Лекция 9
Формула композиции и формула замены переменных для псевдо-дифференциальных операторов.
Лекция 10
Индекс линейного непрерывного оператора как разность размерностей его ядра и коядра. Теорема об устойчивости индекса. Конечность индекса в задаче с наклонной производной для уравнения Лапласа в круге.
Лекция 11
Эллиптические краевые задачи. Условие Шапиро-Лопатинского. Эллиптическая априорная оценка и теорема о конечности индекса.
Лекция 12
Прямая, обратная и центральная задачи магнитоэлектроэнцефалографии (МЭЭГ-задачи).
Лекция 13
Обратная МЭЭГ- задача как прямая эллиптическая псевдодифференциальная задача.
Лекция 14
Центральная МЭЭГ-задача как задача Коши для уравнения Лапласа.
Лекция 15
Явные численно реализуемые формулы для решения эллиптических линейных и нелинейных уравнений с данными Коши на аналитической границе.
Лекция 16
Задача Гельмгольца о форме, вытекающей из щели плоской струи. Область Кирхгофа и обобщенный метод годографа.
Лекция 17
Функция Гельмгольца--Кирхгофа и задача Велихова о топологической конфигурации плазменного разряда.
Лекция 18
Сведение прямой задачи о топологии плазменного разряда к нелинейной задаче Римана-Гильберта.
Лекция 19
Теорема Лере-Шаудера. Конечномерный случай.
Лекция 20
Теоремы о существовании и о несуществовании равновесной плазменной конфигурации заданного топологического типа
Лекция 21
Обратная задача о равновесии плазмы в токамаке. Вспомогательная подзадача А и основная подзадача В о токе в плазме.
Лекция 22
Изометрическое однолистное отображение окружности и решение подзадачи А как задачи Коши для уравнения Лапласа.
Лекция 23
Подзадача В и понятие о существенно различных решениях в обратных задачах с экспериментальными данными.
Лекция 24
Задача Стокса-Лейбензона для течения Hele-Shaw. Ее формулировка в терминах функции Гельмгольца. Теоремы существования.
Лекция 25
Квази-контурная модель задачи Hele-Shaw.
Лекция 26
Плоские течения с минимальным отношением экстремальных значений давления на свободной границе.
Лекция 27
Оптимальная скорость продвижения при обтекании по схеме Фёппля-Лаврентьева.
Лекция 28
Оптимизация динамики формы препятствия.
Лекция 29
Задача Олейник-Теорема об усреднении.
Лекция 30
Экспоненциально точные высокочастотные асимптотики для эллиптических уравнений.
