Плотников Михаил Геннадьевич
«Основы p-ичного гармонического анализа»
Описание курса:
Курс посвящён основам p-ичного анализа, одного из разделов нетригонометрического гармонического анализа. Сначала показывается, как разложение чисел в бесконечную p-ичную дробь приводит к появлению p-ичного дерева и как возникает p-ичная группа, для которой вершины этого дерева являются базой топологии. Затем появляется основная часть курса, посвященная системе функций Уолша (которые принимают всего два значения 1 и -1) и ее p-ичным аналогам – системам Виленкина-Крестенсона. Здесь возникает последовательность матриц Адамара, которая кодирует значения функций Виленкина-Крестенсона и с помощью которой строятся дискретные преобразования Виленкина-Крестенсона (ДПВК), применяющиеся при создании цифровых фильтров. Изучается кронекеровское (тензорное) произведение матриц и демонстрируется, как с его помощью можно строить быстрые алгоритмы для ДПВК. Исследуется групповая структура функций Виленкина-Крестенсона и показывается, почему p-ичные группы – их естественные области определения. Рассматривается еще одна система функций двоичного типа – система Хаара, являющаяся первым известным примером базиса в пространстве непрерывных функций. Эта система является еще и простейшим примером материнской функции для построения всплеского базиса в пространтве L_2. Основные определения теории всплесков (вейвлетов) и некоторые примеры содержатся в завершающей части курса. Материал курса находится на пересечении анализа, алгебры, дискретной математики и вычислительной математики.
План курса:
Лекция 1
Основные факты из теории рядов Фурье в гильбертовых пространствах.
Лекция 2
Ориентированные пути на p-ичных деревьях и разложения чисел в бесконечные p-ичные дроби.
Лекция 3
Ориентированные пути на p-ичных деревьях и p-ичные группы. Топология p-ичных групп.
Лекция 4
Матрицы Адамара и их свойства. Обобщенные матрицы Адамара.
Лекция 5
p-ичное сложение на множестве целых неотрицательных чисел. Дискретные p-ичные группы и их представление в виде конечных p-ичных графов.
Лекция 6
Бит-реверсные перестановки множеств Z(p^L). Скобки Адамара и Пэли.
Лекция 7
Матрицы Адамара и дискретные функции Уолша.
Лекция 8
Обобщенные матрицы Адамара и дискретные функции Виленкина-Крестенсона.
Лекция 9
Матричное произведение Кронекера.
Лекция 10
Дискретные преобразования Виленкина-Крестенсона (ДПВК). Быстрый алгоритм для ДПВК: описание.
Лекция 11
Обоснование быстрого алгоритма для ДПВК.
Лекция 12
Функции Уолша и Виленкина-Крестенсона, их основные свойства.
Лекция 13
Понятие группы характеров топологической группы. Системы Уолша и Виленкина-Крестенсона являются системами характеров двоичной и p-ичных групп.
Лекция 14
Полиномы Уолша и Виленкина-Крестенсона. Теорема о равномерном приближении непрерывных функции полиномами Уолша и Виленкина-Крестенсона.
Лекция 15
Система функций Хаара. Ряды Фурье по системе Хаара. Равномерная сходимость ряда Фурье-Хаара непрерывной функции к самой функции.
Лекция 16
Понятие о всплесках (вейвлетах). Система Хаара на числовой прямой как простейший пример всплескового базиса.
Лекция 17
Обзорная лекция.
