Панин Александр Анатольевич

Панин Александр Анатольевич

«Функциональный анализ»

Описание курса:

Курс состоит из двух частей. В осеннем семестре излагаются необходимые основы функционального анализа: теория меры и интеграл Лебега, основные факты о метрических, топологических, банаховых и гильбертовых пространствах. В весеннем семестре излагаются некоторые дополнительные сведения по темам осеннего семестра, а также рассматривается применение функционального анализа к исследованию задач математическом физики, различные обобщения понятия решения: пространства Соболева и обобщённые функции.

Курс преследует две основные цели. Это 1) изучение классического функционального анализа и изучение теории об. решений (как в смысле пространств Соболева, так и в смысле об. функций) как таковых, 2) обобщение и закрепление понятий, идей и методов анализа, первоначальное знакомство с которыми состоялось в курсе мат. анализа, знакомство с новыми идеями, развитие математической интуиции и способности к математическому творчеству.

Для достижения этих целей решаются следующие задачи: 1) изложение основной теории, 2) обеспечение студентов задачами (как упражнениями, так и задачами теоретического характера), способствующими как усвоению основных фактов, так и более глубокому постижению теории и овладению идеями и методами ф. а. (и отчасти общематематическими).

Студенты могут защищать решения задач перед преподавателем («сдавать задачи»), что способствует лучшему овладению материалом и контролю правильности понимания, а также умению формулировать мысль и вести научню дискуссию.

План курса:

Осенний (2022 г.) семестр

Лекция 1-3

Мера множеств на плоскости. Основные свойства меры Лебега.

Семинар 1

(Вводный) Элементы наивной теории множеств: понятия множества, взаимно однозначного соответствия, счётного и несчётного множеств, теоремы Кантора-Бернштейна и Кантора.

Семинар 2

Основные свойства меры Лебега, продолжение (непрерывность). Отношение эквивалентности.

Лекция 4-6

Интеграл Лебега. Его основные свойства. Теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега (т. Лебега, т. Беппо Леви, лемма Фату). Пространства Лебега.

Семинар 3

Интеграл Лебега. Его основные свойства. Теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега (т. Лебега, т. Беппо Леви, лемма Фату). Пространства Лебега.

Лекция 7

Метрические пространства. Замыкание, плотность.

Лекция 8

Метрические пространства (МП). Полнота, конструкция пополнения. [Здесь используются не классы эквивалентности фунд. последовательностей, а подпространство пространства ограниченных функций на данном МП - идея интуитивно менее очевидная, но оригинальная и технически простая.] Свойства полных МП: теоремы о вложенных шарах, о категориях, о равномерной ограниченности.

Семинар 4

Примеры МП. Контрпримеры к "очевидным фактам". Внутренние, граничные, предельные, изолированные точки, точки касания.

Лекция 9

Непрерывность в МП (в метрических и топологических терминах).

Семинар 5

Метрические пространства, продолжение. Принцип сжимающих отображений и другие вопросы.

Лекция 10

Топологические пространства. Определение, понятие базы, условия, при которых система множеств является базой данной или какой-либо топологии, теорема о фундаментальной системе окрестностей.

Семинар 6

Топологические пространства (ТП), обсуждение. (В частности, примеры топологий на конечных множествах, обсуждение аксиом счётности и отделимости и их связи с метризуемостью, роль последовательностей в ТП со счётной локальной базой).

Лекция 11

Банаховы пространства. (Общая теория, примеры, пространство ограниченных линейных операторов, линейные функционалы, слабая и *-слабая сходимость).

Семинар 7

Банаховы пространства и линейные функционалы. (Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Вычисление норм линейных функционалов).

Лекция 12

Банаховы пространства, продолжение. (Теорема Хана - Банаха и её следствия. Второе сопряжённое пространство. Теорема Банаха - Штейнгауза).

Лекция 13

Банаховы пространства, продолжение. (Сопряжённые пространства: (l^p)*~=l^q. Применение теоремы Хана-Банаха и следствий: нерефлексивность l^\infty, L^\infty, C).

Лекция 14

Банаховы пространства, продолжение. (Спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах, банаховы алгебры, функции от операторов; проекторы, отвечающие замкнутым компонентам спектра).

Семинар 8

Спектральная теория, обсуждение. (Вычисление норм операторов, теоремы об интеграле Данфорда, вычисление функций от операторов).

Лекция 15

Гильбертовы пространства. Общая теория. (Неравенство Коши-Буняковского, теорема Беппо Леви о проекции, теорема об ортогональном разложении, замкнутые и полные ОНС и абстрактный ряд Фурье).

Лекция 16

Ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве. (Теорема Фреше-Рисса, полуторалинейные формы и теорема Лакса-Мильграма, положение спектра ограниченного самосопряжённого оператора и его связь с нормой оператора, спектральный радиус ограниченного самосопряжённого оператора).

Семинар 9

Гильбертовы пространства. (Равенство параллелограмма как н. и д. условие евклидовости, поляризационное тождество в комплексных гильбертовых пространствах и восстановление симметричной билинейной формы в вещественных евклидовых пространствах, замкнутые и незамкнутые линейные многообразия на примере гильбертовых пространств, свойства сопряжённого оператора и конкретные примеры на сопряжённый оператор, ортопроекторы).

Лекция 17-18

Компактность, основные идеи. (Различные метрические и топологические определения компактности и связь между ними. [Здесь же обсуждается наличие счётной базы у сепарабельного МП и возможность извлечения счётного подпокрытия из произвольного открытого покрытия.] Гильбертов кирпич. Компактные множества в метрических пространствах, предкомпактность. Теоремы Вейерштрасса (непрерывный образ компактного ТП есть компактное ТП) и Кантора. Эквивалентность норм на конечномерном линейном пространстве. Замкнутость конечномерного линейного многообразия в произвольном банаховом пространстве. Теорема Арцела [с подробным обсуждением диагональной процедуры]. Теорема Пеано о разрешимости задачи Коши, неединственность её решения).

 

Весенний (2023 г.) семестр

Семестр посвящён углублению тем предыдущего семестра, а также изучению теории обобщённых решений (в терминах пространств Соболева и в терминах обобщённых функций).

Занятие 1

Дальнейшие факты о слабой сходимости. Слабая полнота. Достаточное условие сильной сходимости в равномерно выпуклых банаховых пространствах (слабая сходимость и сходимость норм).

Занятие 2-3

Полнота пространств Лебега. Обобщённое неравенство Гёльдера. Связь L^p- и L^\infty-норм функций. Неравенства Кларксона и равномерная выпуклость пространств Лебега L^p с 1Занятие 4

Теорема Радона-Никодима. Теорема Рисса: (L^p)*~=L^q, 1<=p<+\infty

Занятие 5

Слабая и сильная обобщённые производные.

Занятие 6

Пространства Соболева и обобщённая постановка краевых задач.

Занятие 7

Теоремы о непрерывных вложениях пространств Соболева.

Занятие 8

Теорема Реллиха-Кондрашова о компактном вложении пространств Соболева. (Возможно, в задачи к занятиям 7, 8 будут вынесены технические детали доказательств).

Занятие 9-11

Обобщённые функции (пространства D, D'). (Определения, операции над ними)

Занятие 12

Понятие фундаментального решения в пространстве D'.

Занятие 13

Пространства S и S', как они соотносятся с D и D'.

Занятие 14

Преобразование Фурье на пространствах S и S'.

Занятие 15

Построение фундаментальных решений с помощью преобразования Фурье.