Сипачева Ольга Викторовна
«Ультрафильтры: место встречи топологии, алгебры, комбинаторики и динамики»
Описание курса:
Ультрафильтры играют важную роль в разных областях математики. Многие фундаментальные понятия, включая непрерывность и компактность, очень просто определяются на языке ультрафильтров. Зачастую этот язык оказывается более естественным и удобным, нежели общепринятый. Например, самая цитируемая в математике теорема ― теорема Тихонова о произведении компактов ― имеет простое и изящное доказательство в терминах ультрафильтров (тогда как стандартное доказательство громоздко и трудно для понимания), а наиболее популярная и удобная модель нестандартного анализа основана на понятии ультрафильтрованного произведения. Это понятие играет основополагающую роль и в теории многообразий групп.
На множестве βX всех ультрафильтров на произвольном множестве X имеется естественная компактная топология. В случае, когда X ― полугруппа (например, множество натуральных чисел), полугрупповая операция продолжается до непрерывной по первому аргументу ассоциативной операции на βX. Тем самым βX превращается в компактную правотопологическую полугруппу, а во всякой такой полугруппе имеются идемпотенты, минимальные левые идеалы и т.п. Ультрафильтры-идемпотенты (а также ультрафильтры из минимальных идеалов) обладают уникальными комбинаторными свойствами, которые позволяют с лёгкостью доказывать важнейшие теоремы теории раскрасок (такие как теорема ван дер Вардена об арифметических и геометрических прогрессиях, теорема Шура об одноцветных решениях уравнения x + y = z и теорема Хиндмана о множествах конечных произведений без повторений в группах), доказать которые без применения ультрафильтров либо очень трудно, либо вообще не удаётся.
В 1990-х годах была обнаружена простая и естественная тесная связь между ультрафильтрами и множествами возврата в динамических системах, которая дала новый импульс развитию топологических динамических систем и позволила выявить новые важные свойства таких систем в общей ситуации действия произвольной полугруппы.
В курсе будут подробно рассмотрены все перечисленные темы. Предполагается начать «с нуля», но при этом полностью со всеми деталями изложить доказательства всех упомянутых и многих других утверждений. Это вполне осуществимо, поскольку ультрафильтры ― это действительно чрезвычайно мощный инструмент, который связывает очень разные области математики и позволяет радикально упростить многие конструкции. Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, решением которых занимается автор в настоящее время. Никакой предварительной подготовки от слушателей не требуется.
План курса:
Лекция 1
Аксиомы теории множеств. Порядок. Лемма Цорна. Фильтры и ультрафильтры, примеры, существование неглавных ультрафильтров. Основное свойство ультрафильтров
Лекция 2
Топология на языке ультрафильтров: отделимость, непрерывность, компактность. Доказательство теоремы Тихонова о произведениях компактов. Пространство ультрафильтров βX, его основные свойства. Максимальная компактификация. Доказательство того, что βX ― максимальная компактификация пространства X с дискретной топологией
Лекция 3
Продолжение операции умножения с полугруппы S на максимальную компактификацию βS. Теорема Эллиса–Нумакуры о существовании идемпотента в компактной полугруппе. Основные свойства нароста βS \ S. Подполугруппа неглавных ультрафильтров, ее замкнутость
Лекция 4
Теорема Хиндмана. Следствия теоремы Хиндмана: теорема Гильберта о конечных суммах, теорема Шура о существовании одноцветного решения уравнения x + y = z, теорема Арнаутова о существовании нетривиальных кольцевых топологий на счетных кольцах. Проблема существования групповых топологий на бесконечных группах
Лекция 5
Идеалы в полугруппах ультрафильтров. Существование и замкнутость минимальных левых идеалов. Теорема ван дер Вадена о существовании сколь угодно длинных одноцветных арифметических и геометрических прогрессий
Лекция 6
Теорема Рамсея. Теорема компактности для разбиений. Конечные версии теорем Хиндмана, ван дер Вардена, Рамсея и Шура
Лекция 7
Минимальные идеалы и идемпотенты в полугруппах. Коидеалы в булевой алгебре множеств. Семейства, определённые множествами ультрафильтров. Семейства, регулярные относительно разбиений
Лекция 8
Большие множества в полугруппах. Толстые, синдетические и кусочно синдетические множества в полугруппах и группах. Специфика и простое описание таких множеств в полугруппе натуральных чисел и группе целых чисел
Лекция 9
Характеризация кусочно синдетических и толстых множеств в полугруппе S в терминах идеалов полугруппы ультрафильтров βS. Теорема Хейлса–Джеветта о кусочно синдетических множествах и основные комбинаторные теоремы (включая теорему ван дер Вардена) как ее простые следствия. Применение кусочно синдетических множеств к проблеме разрешимости уравнения p + q = rs в полугруппе βN
Лекция 10
Топологическая динамика: основные понятия и примеры. Динамические системы. Динамические системы в βS. Множества возврата и рекуррентные точки, их связь с идеалами в полугруппе ультрафильтров
Лекция 11
Минимальность и рекуррентность в дискретных динамических системах и системах сдвига и кусочно синдетические множества
Лекция 12
Порядок Рудин–Кейслера на ультрафильтрах. Рамсеевские (селективные) ультрафильтры, независимость их существования от аксиом теории множеств и минимальность в порядке Рудин–Кейслера. Связь с минимальностью ультрафильтров в смысле принадлежности минимальным идеалам. P-ультрафильтры, Q-ультрафильтры, быстрые ультрафильтры. Связь с идемпотентами
Лекция 13
Топологические свойства ультрафильтров на Х как точек пространства βX. Применение порядка на ультрафильтрах к исследованию однородности топологических пространств
Лекция 14
Жирные множества в группах, их связь с быстрыми ультрафильтрами и применение к решению проблемы об экстремально несвязных топологических группах. Ультрапроизведения. Основные конструкции нестандартного анализа. Многообразия и квазимногообразия групп. Дальнейшие применения теории ультрафильтров
