«Параболические уравнения»
Описание курса:
Спецкурс является вводным в обширную качественную теорию нелинейных уравнений параболического типа. К таким уравнениям относятся нелинейное уравнение теплопроводности, уравнение нелинейной диффузии, нелинейные уравнения химической кинетики. Исследованию нелинейных параболических уравнений посвящено большая часть всех публикаций по теории нелинейных уравнений в частных производных. В частности, по исследованию уравнений типа Навье-Стокса. Однако, для того чтобы разобраться в этих работах необходимо обладать определенным набором знаний результатов по качественной теории параболических уравнений. Это слабый и сильный принцип максимума, принцип Олейник-Хопфа-Жиро о знаке косой производной в точках max или min в точках границы, понятия верхней и нижний крышек, теория потенциала для параболических уравнений, свойства тепловых потенциалов, признаки сравнения нелинейных уравнений параболического типа. Постановка и решение задачи Коши в классах Тихонова-Тэклинда. Все эти факты из качественной теории параболических уравнений в необходимом объеме не изучаются на Физическом Факультете. Поэтому такой специальный курс, читаемый на кафедре математики, является единственным на физическом факультете, в совокупности со специальным курсом "Эллиптические уравнения" дающий необходимую базу для студента, который собирается заниматься исследованиями в области нелинейных уравнений математической физики.
План курса
Лекция 1
Слабый принцип максимума для оператора теплопроводности.
Лекция 2
Слабый принцип максимума для задачи Коши.
Лекция 3
Единственность решения задачи Коши в классе А. Н. Тихонова.
Лекция 4
Вывод третьей формулы Грина.
Лекция 5
Свойства теплового объемного потенциала.
Лекция 6
Свойства теплового потенциала двойного слоя.
Лекция 7
Свойства теплового потенциала простого слоя (нормальной производной).
Лекция 8
Решение первой смешанной краевой задачи при помощи потенциала двойного слоя.
Лекция 9
Постановка задач для общего параболического оператора с переменными коэффициентами.
Лекция 10
Слабый принцип максимума для общего параболического оператора.
Лекция 11
Сильный принцип максимума для общего параболического оператора.
Лекция 12
Единственность решения первой смешанной краевой задачи.
Лекция 13
Теорема типа Жиро для общего параболического оператора.
Лекция 14
Единственность решения второй и третьей смешанных краевых задач для общего параболического оператора.
Лекция 15
Признаки сравнения решений нелинейных уравнений параболического типа.
Лекция 16
Метод верхних и нижних решений.
