Лукьяненко Дмитрий Витальевич
«Экстремальные задачи»
Описание курса:
В курсе изложены основные понятия выпуклого программирования с приложениями в теории некорректно поставленных обратных задач. Изучены свойства и рассмотрен вопрос о разрешимости задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве. Сформулированы необходимые и достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости дифференцируемых по Фреше функционалов. Рассмотрены наиболее популярные методы минимизации (методы скорейшего спуска, Ньютона, сопряженных градиентов, проекции сопряженных градиентов, условного градиента и др.). Даны некоторые основные понятия и результаты Тихоновской теории линейных и нелинейных некорректно поставленных задач. Изучены численные методы регуляризации некорректно поставленных обратных задач, основанные на методах минимизации невязки и функционала А.Н. Тихонова.
План курса:
Лекция 1
Постановка экстремальных задач (задач оптимизации).
Лекция 2
Разрешимость задачи оптимизации. Простейшие необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклые функционалы.
Лекция 3
Разрешимость задачи выпуклого программирования.
Лекция 4
Критерии выпуклости и сильной выпуклости.
Лекция 5
Метод наименьших квадратов. Метод псевдообращения.
Лекция 6
Минимизирующие последовательности. Некоторые методы решения одномерных экстремальных задач. Численные методы отыскания минимума выпуклых дифференцируемых функционалов. Задача без ограничений. Метод скорейшего спуска. Метод сопряженных градиентов. Метод Ньютона и его модификации. Метод Ньютона-Гаусса.
Лекция 7
Численные методы отыскания минимума выпуклых дифференцируемых функционалов. Задача с ограничениями. Метод условного градиента. Метод проекции сопряженных градиентов.
Лекция 8
Корректно и некорректно поставленные задачи. Понятие регуляризирующего алгоритма.
Лекция 9
Некорректные задачи на компактах. Численные методы решения некорректных задач на компактных множествах специального вида.
Лекция 10
Некорректные задачи в случае истокопредставимости решения. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности.
Лекция 11
Регуляризирующий алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н. Тихонова и обобщённом принципе невязки выбора параметра регуляризации. Численные методы.
Лекция 12
Применение регуляризирующих алгоритмов к решению обратных задач математической физики.
