Алания Леван Анзорович
«Дополнительные главы линейной алгебры»
Описание курса:
Курс рассчитан для студентов младших курсов, которые собираются специализироваться на геометрические кафедры. Основная цель курса дополнить стандартный курс линейной алгебры более подробным изложением таких тем, как маломерные евклидовые и псевдоевклидовые пространства, их группы движения. К ним ествественным образом примыкает теория алгебр Клиффорда.
Центральная теорема стандартного курса (нормальная форма Жордана) будет представлена как частный случай более общей формы Фробениуса. Также будем рассматривать целочисленные квадратичные формы, и формы над Z_2, как естественный алгебраический аппарат для изучения алгебро-топологических инвариантов.
План курса:
Лекция 1
Необходимые предварительные определения и теоремы: квадратичные формы над полями, диагонализация, скалярные произведения (для вещественных и комплексных чисел), ортогонализация.
Лекция 2
Тензорные произведения, тензорная алгебра пространства. Внешние формы. Алгебры Хопфа.
Лекция 3
Евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Эрмитовы пространства. Алгебра кватернионов.
Лекция 4
Маломерные группы -- O(3), O(4), U(2), SU(2), O(2,1), O(3,1)
Лекция 5
Спинорное представление Паули и Дирака.
Лекция 6-7
Алгебра Клиффорда, вычисления для маломерных евклидовых и псевдоевклидовых пространств
Лекция 8
Периодичность Ботта.
Лекция 9
Унимодулярные целочисленные формы, теорема о сигнатуре.
Лекция 10
Квадратичные формы над полями характеристики 2.
Лекция 11
Инвариант Арфа, топологические примеры.
Лекция 12
Конечно порожденные модули над кольцами главных идеалов, конечные абелевы группы.
Лекция 13
Операторы в линейных пространствах.
Лекция 14-15
Фробениусова форма линейного оператора, связь с нормальной формой Жордана.
