Асташова Ирина Викторовна
«Методы качественной теории нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений»
Описание курса:
Спецкурс посвящен классическим и современным методам исследования нелинейных дифференциальных уравнений и их приложению к решению актуальных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Для исследования нелинейных задач не существует общих методов исследования. Каждая задача требует индивидуального подхода, однако без знания существующих, в том числе, современных методов исследования нелинейных задач, невозможно обойтись ни современному специалисту, собирающемуся работать в любой области, где используются дифференциальные уравнения, ни аспиранту, который развивает качественную теорию дифференциальных уравнений и ее приложения. В курсе будут изложены классические методы исследования, включающие в себя методы исследования, разработанные ведущими специалистами кафедры (И.Г. Петровским, В.В. Степановым, В.А. Кондратьевым, А.Д. Мышкисом) и изложены новые, в том числе, авторские, методы исследования нелинейных задач; будут приведены примеры применения качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений к научным исследованиям в механике, биологии, химии, экономике, социологии.План курса:
Лекция 1
Различные подходы к определению понятия решения обыкновенного дифференциального уравнения и корректности поставленных задач. Различные формулировки теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Особые решения. Примеры неединственности решений и примеры уравнений, имеющих непродолжаемые решения с различными качественными свойствами.
Лекция 2
Краткое введение в теорию динамических систем и их применение к исследованию поведения решений. Рисование как способ исследования.
Лекция 3
Уравнение Риккати как пример простейшего нелинейного уравнения и обсуждение трудности его изучения. Простейшие случаи интегрируемости Риккати в квадратурах. Построение общего решения по известному частному решению. Построение общего решения, в случае когда известно 2 или 3 частных решения. Каноническое соотношение между решениями уравнения Риккати.
Лекция 4
Специальное уравнение Риккати и случаи его интегрируемости. Примеры. Теорема о непрерывной зависимости решения уравнения Риккати от свободного члена уравнения и условие сохранения области определения решения задачи Коши при малых изменениях свободного члена уравнения.
Лекция 5
Новые результаты об уравнении Риккати и их применение для исследования решений уравнений с частными производными и изучения различных математических моделей.
Лекция 6
Полиномиальные уравнения первого порядка. Оценки сверху решений при помощи экспоненты.
Лекция 7
Теорема Харди об асимптотическом поведении на бесконечности решений уравнения, разрешенного относительно производной, правая часть которого представляет собой отношение многочленов от независимого переменного и неизвестной функции.
Лекция 8
Линейное уравнение второго порядка. Инвариантность линейного уравнения относительно любого преобразования независимой переменной и относительно дробно-линейного преобразования неизвестной функции. Приведение линейного уравнения к простейшим формам: к уравнению, не содержащему члена с младшей производной и самосопряженному виду. Уравнение Бесселя. Уравнение Лежандра. Уравнение Льенара.
Лекция 9
Факторизация линейного дифференциального оператора на примере оператора второго порядка. Представление Пойя – Маммана. Связь между линейным однородным уравнением первого порядка и уравнением Риккати.
Лекция 10
Определение колеблющегося решения на отрезке и на полубесконечном интервале. Обсуждение вопроса о возможной неадекватности численных методов в изучении таких решений. Примеры. Теорема об изолированности нулей решения. Простейшее достаточное условие неколеблемости решений. Достаточные условия неколеблемости решений уравнений второго порядка. Теорема Кондратьева и следствия из нее – теоремы Кнезера, Ельшина и Беллмана.
Лекция 11
Теорема Штурма. Теорема сравнения. Оценки расстояния между нулями решения. Оценки расстояния между нулями решения уравнения Бесселя.
Лекция 12 - 13
Теорема Кондратьева о нулях решений линейных уравнений 3-го, 4-го и n-го (n больше 4) порядков. Формулировка результатов.
Лекция 14
Асимптотическое поведение на бесконечности решений линейного уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом. Теорема Шпета и ее обобщение на случай более слабого ограничения на вырождающийся коэффициент уравнения. Теорема о сохранении свойства ограниченности решений уравнения при малых возмущениях коэффициента. Теорема об ограниченности решений уравнения с монотонно возрастающим к бесконечности коэффициентом.
Лекция 15
Уравнение Эмдена-Фаулера второго порядка как пример наиболее изученного нелинейного уравнения и исследование асимптотического поведения его решений при различных значениях параметров.
