Бородин Пётр Анатольевич
«Квантованные приближения, II»
Описание курса:
Квантованные приближения (приближения суммами элементов заданного множества с коэффициентами 1) - область нелинейной теории приближения в банаховых пространствах, использующая аппарат классического функционального анализа, комплексного анализа, теории приближений, гармонического анализа и геометрии банаховых пространств. Если ограничиться уровнем теоремы Вейерштрасса (можно или нельзя приблизить с любой точностью), то основная задача теории квантованных приближений ставится так. Пусть M – некоторое заданное подмножество банахова пространства X. Верно ли, что аддитивная полугруппа R(M), состоящая из всевозможных сумм элементов множества M, всюду плотна в X, то есть любой элемент из X сколь угодно точно приближается конечными суммами элементов из M?
Частным случаем указанной задачи является довольно глубоко исследованная задача о возможности приближения многочленами с целыми коэффициентами (Fekete, А.О.Гельфонд, Р.М.Тригуб, Ferguson и др.).
Основной мотивировкой нашего исследования указанной задачи служит теория приближения наипростейшими дробями (логарифмическими производными комплексных многочленов) в различных банаховых пространствах X функций, заданных на различных подмножествах комплексной плоскости. Здесь в качестве порождающего берется множество M(E)={1/(z-a): a\in E}, где E – подмножество комплексной плоскости, и ставится задача о плотности полугруппы R(M(E)) в X, то есть задача о плотности в X наипростейших дробей с полюсами из E. Эта задача имеет естественную физическую интерпретацию. Наипростейшая дробь с полюсами {a_k} комплексно сопряжена функции напряженности плоского электростатического поля, создаваемого одинаковыми одноименными зарядами, расположенными в точках a_k. Таким образом, в указанной задаче произвольное плоское электростатическое поле, напряженность которого принадлежит пространству X, приближается по норме этого пространства полем, создаваемым одинаковыми зарядами, расположенными во множестве E.
Приближения наипростейшими дробями стали изучаться в России по инициативе Е.П.Долженко в начале 2000-х гг. Они воспринимались как новая постановка в теории приближения функций комплексного переменного, и русскоязычными авторами были получены существенные результаты в самых разных пространствах таких функций (В.И.Данченко, Д.Я.Данченко, О.Н.Косухин, П.А.Бородин, М.А.Комаров, П.В.Чунаев, Я.В.Новак, В.Ю.Протасов, И.Р.Каюмов, Е.Н.Кондакова, К.С.Шкляев, Е.В.Абакумов, А.А.Боричев, К.Ю.Федоровский и др.). В ходе этих исследований выяснилось, что на Западе эпизодические результаты о приближениях наипростейшими дробями доказывались во второй половине XX в. (Mac Lane, Korevaar, Newman, Chui, Elkins et al.). Наиболее яркий результат был получен Коревааром: для всякой ограниченной односвязной области D наипростейшими дробями с полюсами на границе этой области можно с любой точностью на любом компакте внутри D равномерно приблизить всякую функцию, голоморфную в D.
В общем виде указанная выше задача о плотности полугруппы впервые исследовалась в работе П.А.Бородина (Известия РАН, 2014). Одним из основных направлений исследований стало стремление получить такие общие теоремы о плотности квантованных приближений в русле этой задачи, из которых теорема Кореваара следовала бы как частный случай. Эти теоремы были получены П.А.Бородиным и его учеником К.С.Шкляевым. Они опубликованы в недавнем обзоре (УМН, 2023) результатов о квантованных приближениях.
Цель курса – познакомить слушателей с новейшими, в том числе еще неопубликованными, результатами о плотности полугрупп как для произвольных порождающих множеств M в общих банаховых пространствах X, так и для конкретных M в конкретных функциональных пространствах X, и их приложениями к приближению наипростейшими дробями в различных пространствах функций комплексного переменного. Кроме того, планируется представить результаты о приближении естественным обобщением наипростейших дробей - суммами сдвигов одной функции. В конце курса предполагается рассмотреть некоторые сюжеты из теории приближения многочленами с целыми коэффициентами и наметить подходы к решению задачи о плотности полугруппы в случае счетных порождающих множеств M общего вида. По ходу дела будут представлены избранные результаты о скорости квантованных приближений и алгоритмах поиска квантованных приближений.
План курса:
Лекция 1
Плотность полугруппы, порожденной несвязным множеством. Возвратный жадный алгоритм относительно уменьшающего норму множества, его сходимость в гильбертовом пространстве.
Лекция 2
Плотность полугруппы, порожденной разносторонним подмножеством эллипсоида Гильберта-Шмидта.
Лекция 3
Равномерное приближение на компакте наипростейшими дробями с полюсами на другом компакте. Обобщение теоремы Кореваара.
Лекция 4
Приближение наипростейшими дробями в неограниченных областях.
Лекции 5
Теорема В.И. Данченко и плотность наипростейших дробей в пространстве C_0 на прямой.
Лекция 6
Плотность наипростейших дробей в пространствах L_p на полупрямой.
Лекция 7
Приближение наипростейшими дробями в различных пространствах Харди и Бергмана. Обзор результатов.
Лекция 8
Скорость приближения наипростейшими дробями на отрезке и в круге. Аналог теоремы Джексона (теорема О.Н. Косухина).
Лекция 9
Равномерное приближение логарифмическими производными рациональных функций.
Лекция 10
Приближение суммами сдвигов одной функции в пространствах L_p и C на окружности. Точность условий на коэффициенты Фурье, достаточных для плотности в подпространствах функций с нулевым средним.
Лекция 11
Теорема Н.А. Дюжиной о приближении сдвигами одной функции на компактной абелевой группе.
Лекция 12
Теорема Ю.А. Скворцова о плотности сумм сдвигов одной функции, порожденных действием компактной группы на топологическом пространстве.
Лекция 13
Теорема С.В. Конягина о существовании сходящейся почти всюду к нулю последовательности тригонометрических многочленов с натуральными коэффициентами.
Лекция 14
Существование функции, суммы сдвигов которой плотны в L_2 на прямой.
Лекция 15
Существование вектора, суммы сдвигов которого плотны в l_2 на решетке целых чисел.
Лекция 16
Необходимые и достаточные условия плотности полугруппы, порожденной счетным множеством.
Лекция 17
Приближение многочленами с целыми коэффициентами. Теорема Апарисио Бернардо.
