«Геометрическая теория приближений»
Описание курса:
В современном понимании геометрическая теория приближений изучает взаимосвязи между различными аппроксимативными свойствами множеств (чебышевость, единственность, существование, аппроксимативная компактность, солнечность, антипроксиминальность и т.д.) с их тополого-геометрическими свойствами (линейность, выпуклость, разного рода связность, гладкость и т.д.) при различных условиях (строгая выпуклость, равномерная выпуклость, гладкость и т.д.) на нормированное пространство. При всем многообразии исследований по геометрической теории приближений эта теория содержит большое число давно поставленных проблем, не поддающихся решению. Наиболее острой из них признается проблема выпуклости чебышевских множеств (Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин, В. Кли): всякое ли чебышевское множество в гильбертовом пространстве выпукло?
Цель курса - постановка основных нерешенных проблем геометрической теории приближений, сопровождаемая доказательством известных результатов, к этим проблемам относящихся. К указанным проблемам относятся: проблема выпуклости чебышевских множеств и N-чебышевских множеств, проблема описания чебышевских множеств в конечномерных пространствах, проблема сходимости жадных алгоритмов.
План курса:
1. Теорема Бунта о выпуклости чебышевских множеств в R^n. Проблема выпуклости чебышевского множества в гильбертовом пространстве.
2. Теорема Л.П. Власова о выпуклости чебышевского множества с непрерывным оператором метрического проектирования в равномерно выпуклом гладком пространстве.
3. Теорема Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина о равносильности аппроксимативной компактности и выпуклости для чебышевских множеств. Следствия.
4. Пространства Ефимова-Стечкина. Существование нетривиального чебышевского множества и аппроксимативно компактного, но не ограниченно компактного множества в произвольном WCG-пространстве.
5. Теорема С.В. Конягина о выпуклости чебышевского множества в гильбертовом пространстве при условии, что точки разрыва метрической проекции лежат на конечном числе липшицевых гиперповерхностей.
6. Теорема Л.П. Власова о B-связности чебышевского множества в равномерно выпуклом пространстве.
7. Выпуклость 2-чебышевского множества в гильбертовом пространстве.
8. N-чебышевские множества. Выпуклость 2-чебышевского множества в равномерно выпуклом пространстве. Выпуклость N-чебышевского множества с нечетным N в гладком равномерно выпуклом пространстве. Пример невыпуклого 3-чебышевского множества в равномерно выпуклом пространстве.
9. Теорема Браесса о солнечности чебышевского множества с непрерывной метрической проекцией в C[0,1]. Пример Данхэма несолнечного и несвязного чебышевского множества в C[0,1]. Солнечность чебышевского множества в конечномерном пространстве.
10. Теоремы Моцкина и Брёндстеда о двумерных и трехмерных банаховых пространствах, в которых всякое чебышевское множество выпукло. Теорема И.Г. Царькова о характеризации конечномерных пространств, в которых всякое ограниченное чебышевское множество выпукло (б/д).
11. Монотонная линейная связность. Теорема А.Р. Алимова о солнечности монотонно линейно связного чебышевского множества. Монотонная линейная связность чебышевского множества на нормированной плоскости. Теорема А.Р. Алимова и Е.В. Щепина о выпуклости чебышевских множеств по касательным направлениям.
12. Жадные приближения произвольным множеством. Теорема сходимости. Полужадный и возвратный алгоритмы. Приложения к теории плотности полугруппы.
13. Классические жадные приближения относительно словаря. Теорема де Вора-Темлякова о скорости сходимости для начальных элементов из выпуклой оболочки словаря. Проблема наименьшего показателя степени.
