Домрин Андрей Викторович
«Римановы поверхности и солитоны»
Описание курса:
Теория функций на компактных римановых поверхностях занимает особое место в математике. С одной стороны, это вершина классического анализа, с другой - неиссякаемый источник ярких приложений к геометрии, теории чисел и все возрастающему множеству задач математической физики. Владение этой теорией необходимо для работы во многих областях современной математики и физики. Однако в читаемых на мехмате базовых курсах комплексного анализа (и, тем более, геометрии) по традиции и по другим уважительным причинам не находится места для сколько-нибудь подробного изложение таких основ. Целью курса является построение центральной части здания классической теории функций на компактных римановых поверхностях (условно говоря, это теоремы Римана-Роха и Абеля и решение задачи обращения Якоби вместе с их следствиями о структуре и классификации алгебраических кривых) и галереи, ведущей в активно развивающуюся междисциплинарную область современной математики: теорию солитонов. Курс начинается с теории эллиптических функций и связанных с ними целых функций (по традиции именуемых тэта-функциями и сигма-функциями), отвечающей случаю алгебраических кривых рода единица и служащей основой для обобщений на случай высших родов. Такое обобщение нетривиально из-за существенных отличий теории функций на поверхностях рода выше единицы (с универсальным накрытием круг) от теории эллиптических функций (с универсальным накрытием плоскость), но именно оно позволяет понять и усвоить конструкции общего случая. Установив основные теоремы, мы приводим два решения задачи обращения Якоби --- с помощью тэта-функции Римана в общем случае и сигма-функции Клейна в гиперэллиптическом. Второй подход более частный, но является более прямым аналогом эллиптического случая и голоморфно зависит от модулярных параметров, что важно при изучении вырождений и снимает проблему Шоттки. Те же два подхода применяются затем для построения и изучения конечнозонных решений иерархии уравнения Кортевега-де Фриза.
План курса:
Лекция 1
Эллиптические функции: общие свойства, теория Вейерштрасса, дифференциальные уравнения.
Лекция 2
Тэта-функции одного переменного. Их классификация и приложения к построению эллиптических функций, гармоническому анализу и теории чисел.
Лекция 3
Одномерные комплексные многообразия. Голоморфные и мероморфные функции и 1-формы на них. Понятие степени мероморфной функции. Теорема о вычетах.
Лекция 4
Плоские алгебраические кривые как графики алгебраических функций одного переменного. Примеры мероморфных 1-форм на них.
Лекция 5
Нормализация плоской алгебраической кривой. Понятие рода. Формула Римана-Гурвица.
Лекция 6
Методы гильбертова пространства для доказательства теорем существования. Теорема Римана-Роха.
Лекция 7
Следствия теоремы Римана-Роха: размерность пространства голоморфных 1-форм, условия существования мероморфных функций с заданными главными частями в полюсах, классификация кривых рода не выше 4, описание гиперэллиптических кривых.
Лекция 8
Периоды мероморфных 1-форм. Билинейные соотношения Римана. Якобиан.
Лекция 9
Теорема Абеля. Задача обращения Якоби и геометрические следствия ее решения.
Лекция 10
Решение задачи обращения Якоби с помощью тэта-функций.
Лекция 11
Решение задачи обращения Якоби в гиперэллиптическом случае с помощью сигма-функций.
Лекция 12
Уравнения Лакса и уравнения нулевой кривизны. Иерархии солитонных уравнений. Построение n-солитонных решений.
Лекция 13
Линеаризация уравнений Лакса на якобиане спектральной кривой. Дифференциальные уравнения и системы, разрешимые в эллиптических и абелевых функциях.
Лекция 14
Функция Бейкера-Ахиезера. Построение решений иерархии уравнения Кортевега-де Фриза с помощью тэта-функций.
Лекция 15
Построение решений иерархии уравнения Кортевега-де Фриза с помощью сигма-функций. Вырождение n-зонных решений в n-солитонные.
Лекция 16
Проблема Шоттки и гипотеза Новикова: выделение якобианов среди всех комплексных торов с помощью солитонных уравнений.
