Ероховец Николай Юрьевич
«Элементы торической топологии»
Описание курса:
Торическая топология - новая активно развивающая область математики, лежащая на стыке теории многогранников, алгебраической топологии, комбинаторной топологии, геометрии многообразий, эквивариантной топологии и симплектической геометрии. Каждому простому выпуклому многограннику P с m гипергранями сопоставляется гладкое (m+n)-мерное момент-угол многообразие P с действием m-мерного компактного тора T^m=(S^1)^m, пространством орбит которого является P. При этом эквивариантная геометрия и топология этого пространства зависит только от комбинаторики многогранника P, что создаёт мост между теорией многогранников и теорией многообразий. Момент-угол многообразие n-мерного симплекса является (2n+1)-мерной сферой, однако для других многогранников момент-угол многообразия имеют богатую геометрию и топологию. В частности, когомологии момент-угол многообразия могут иметь любое кручение. Важную роль играют пространства орбит момент-угол многообразия по действию торических подгрупп в T^k<T^m. В случае свободного действия максимальных подгрупп T^{m-n} получаются 2n-мерные многообразия с локально-стандартным действием тора T^n. Они являются топологическими аналогами торических многообразий из алгебраической геометрии. Торическая топология возникла в середине 90-х годов и к настоящему времени объединяет ученых из России, США, Китая, Великобритании, Франции, Японии, Республики Корея, Канады, Сербии и других стран. Ежегодно проводится несколько международных конференций. Целью курса является ознакомление студентов с основами торической топологии. Будут рассказаны как самые базовые понятия и результаты, так и результаты, лежащие на переднем крае исследований и открывающие для молодых математиков возможности для самостоятельных научных исследований.
Лекция 1
Основная идея торической топологии. Многогранные и симплициальные комплексы. Полиэдральная степень пары пространств. Кубический комплекс симплициального комплекса и простого многогранника как полиэдральная степень. Барицентрическое вложение простого многогранника.
Лекция 2
Момент-угол-комплексы. Конструкция Дэвиса-Янушкевича. Геометрические свойства объединения гиперграней простого многогранника.
Лекция 3
Момент-угол многообразия. Гладкие структуры. Звездчатые сферы и сферы Бира.
Лекция 4
Аддитивная структура в гомологиях и когомологиях момент-угол комплексов. Формула Хохстера.
Лекция 5
Умножение в когомологиях момент-угол комплекса. Описание в терминах кольца Стенли-Райснера и в терминах симплициальных когомологий полных подкомплексов.
Лекция 6
Описание умножения в когомологиях момент-угол многообразия в терминах пар (объединение гиперграней, его граница). Пример трёхмерных многогранников.
Лекция 7
Мультиградиурованная двойственность Пуанкаре для момент-угол многообразий и двойственность Александера для полных подкомплексов. Кольцо когомологий момент-угол многообразий простых многогранников. Отсутствие кручения для трёхмерных и четырёхмерных многогранников. Описание кольца когомологий в терминах пар (многогранник, объединение гиперграней).
Лекция 8
Свободные действия подгрупп на момент-угол комплексах. Число Бухштабера симплициального комплекса и простого многогранника. Квазиторические многообразия и малые накрытия. Многогранники, неприводимые относительно операции симплициальной книжки (зёрна).
Лекция 9
Квазиторические многообразия и малые накрытия.
Лекция 10
Когомологически жёсткие семейства многообразий. B-жёсткость и C-жёсткость простого многогранника.
Лекция 11
Кольцо когомологий момент-угол многообразия простого трёхмерного флагового многогранника. Формула, связывающая h-числа многогранника и биградуированные числа Бетти. B-жёсткость свойства быть простым флаговым 3-мерным многогранником.
Лекция 12
B-жёсткость многогранников Погорелова и трёхмерных идеальных прямоугольных многогранников. Свойство разделяемого цикла (Separable Cycle Condition).
Лекция 13
Когомологически жёсткие семейства многообразий, определяемые трёхмерными прямоугольными многогранниками в пространстве Лобачевского.
Лекция 14
Геометризация трёхмерных многообразий, определяемых векторными раскрасками трёхмерных многогранников.
Лекция 15
Многообразия, определяемые несвободными действиями подгрупп Z_2^k на вещественном момент-угол многообразий. Гиперэллиптические многообразия с геометрической структурой. Гамильтоновы подкомплексы в границе многогранника.
