«Арифметика алгебраических кривых»
Описание курса:
Курс относится к алгебраической теории чисел, а более точно - к диофантовой геометрии. Курс посвящен наиболее изученному разделу диофантова анализа - теории уравнений с двумя неизвестными.
Проблематика теории диофантовых уравнений обманчиво проста и состоит в отыскании рациональных или целочисленных решений полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами. Однако, не так давно созданные формальная теория доказательств и теория алгоритмов в некотором смысле "сводят почти всю" математику к теории диофантовых уравнений.
Цель настоящего курса - ознакомить слушателей с алгебро-геометрическими методами в теории диофантовых уравнений. Основными результатами курса будут теорема Морделла о конечности ранга эллиптической кривой над полем рациональных чисел, теореме Римана-Роха для кривых и базирующееся на ее использовании доказательство теоремы А. Вейля о числе рациональных точек абсолютно неприводимой кривой над конечным полем. Теория алгебраических кривых будет изложена с арифметической точки зрения.
План курса:
1. Алгебраические сравнения. Основные понятия. Теорема Лагранжа. Символ Лежандра. Критерий Эйлера.
2. Сравнения по двойному модулю и конечные поля. Количество неприводимых в F_p[x] многочленов степени n.
3. Алгебраическая структура конечных полей. Обобщенная теорема Лагранжа для поля F_q. Автоморфизмы конечных полей. Единственность поля F_q.
4. Характеры конечных абелевых групп. Относительные норма и след. Абсолютные норма и след.
5. Группа характеров конечного поля. Мультипликативные и аддитивные характеры.
6. L-функция Артина. Аналитическое продолжение и регулярность L-функции Артина.
7. Суперэллиптическое уравнение и уравнение Артина-Шрейера. Леммы о выражении количестве решений через суммы с нормой и следом.
8. Число рациональных точек на кривой f(x,y) = 0 над конечным полем. Эквивалентные условия абсолютной неприводимости многочлена. Формулировка теоремы о числе корней в поле F_{q^{\eta}} абсолютно неприводимого многочлена от двух переменных над полем F_q.
9. Оценка сумм характеров с многочленом. Теоремы о количестве решений суперэллиптического уравнения и уравнения Артина-Шрейера.
10. Плоские алгебраические кривые. Рациональные кривые. Параметризация кривых. Рациональность кривых степени два.
11. Теорема Лагранжа о разрешимости квадратного уравнения над конечным полем. Теорема Лежандра о разрешимости однородного квадратичного уравнения над кнечным полем.
12. Эллиптические кривые. Бирациональный изоморфизм кривых. Короткая форма Вейерштрасса. Сложение точек.
13. Теорема Морделла. Доказательство А. Вейля.
14. Ранг эллиптичесикой кривой. Точки конечного порядка. Групповая структура точек эллиптической кривой.
15. Обсуждение теоремы Нагелля, теоремы Мазура, группы Морделла-Вейля, гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера.
