Гайфуллин Сергей Александрович
«Прикладные вопросы алгебры»
Описание курса:
Данный курс посвящён проблемам алгоритмической разрешимости и неразрешимости некоторых задач алгебры. Таких как вхождение элемента в идеал, равенство идеалов, равенство элементов в полугруппе/кольце. Прежде всего вводится строгая терминология, позволяющая говорить о разрешимости или неразрешимости задачи. Рассматривается ряд алгоритмически неразрешимых задач таких как проблема равенства элементов в полугруппе с конечным числом образующих и соотношений. Основная часть курса посвящена конкретным алгоритмам, основанным на понятии базиса Грёбнера в кольце (коммутативных) многочленов от нескольких переменных. Описаны алгоритмы проверки, что система является системой Грёбнера (критерий Бухбергера), алгоритм построения базиса Грёбнера идеала (алгоритм Бухбергера), алгоритм сравнения идеалов (на равенство), алгоритм нахождения пересечений идеалов. Алгоритм сведения полиномиальной системы к одному полиномиальному уравнению.Кроме практических алгоритмов теория базисов Грёбнера позволяет доказать некоторые теоретические результаты из алгебраической геометрии. Например, в курсе доказывается теорема Гильберта о нулях. Также вводится понятие размерности используя рост алгебры.
Материал курса лежит на пересечении алгебры, алгебраической геометрии, теории алгоритмов программирования.
План курса:
Лекция 1
Алгоритмы. Машина Тьюринга. Алгоритмическая разрешимость/неразрешимость проблем. Тезис Чёрча. Массовые проблемы.
Лекция 2
Алгоритмическая неразрешимость проблемы Туэ о равенстве слов в полугруппе. Марковские свойства. Алгоритмическая неразрешимость 10-й проблемы Гильберта.
Лекция 3
Схемы симплификации. Эквивалентность различных свойств.
Лекция 4
Линейная версия. Подпространство с канонической формой. Его представление в виде прямой суммы пространства нормальных форм и подпространства элементов с нулевой канонической формой.
Лекция 5
Базис Грёбнера одностороннего идеала свободной ассоциативной алгебры. Теорема Кона.
Лекция 6
Рост алгебры. Рост свободной ассоциативной алгебры и алгебры полиномов.
Лекция 7
Целые расширения. Транзитивность целых расширений.
Лекция 8
Аффинные алгебраические многообразия. Топология Зарисского. Алгебра регулярных функций.
Лекция 9
Базис Грёбнера идеала полиномиальной алгебры. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Теорема Гильберта о базисе.
Лекция 10
Утверждения о промежуточных заменах и достраивании нулей идеалов.
Лекция 11
Алгоритм решения полиномиальной системы. Система параметров. Лемма Нётер о нормализации. Размерность Крулля. идеала. Размерность аффинного алгебраического многообразия.
Лекция 12
Результант и решение полиномиальной системы через него.
Лекция 13
Пересечение идеала с подалгеброй многочленов от меньшего числа переменных.
Лекция 14
Теорема Гильберта о нулях.
Лекция 15
Пересечение идеалов. Проблема вхождения в подалгебру.
Лекция 16
Морфизмы аффинных алгебраических многообразий. Вычисление образа морфизма.
