«Кольца Кокса»
Описание курса:
Курс посвящён основам теории колец Кокса алгебраических многообразий. Классический подход к алгебраическим многообразиям состоит в том, чтобы склеивать многообразие из аффинных карт. Однако, в некоторых задачах хочется иметь глобальные координаты на многообразии. Таковыми, например, являются однородные координаты на проективном пространстве. В 1995 году Дэвидом Коксом было введено канонически строящееся по многообразию (удовлетворяющему некоторым техническим условиям) кольцо (на самом деле алгебра над основным полем). Данное кольцо позволяет реализовать исходное многообразие как фактор открытого подмножества в спектре данного кольца по действию диагонализируемой группы. Так, например, для того, чтобы получить проективное пространство надо убрать из аффинного пространства начало координат и рассмотреть фактор по действию одномерного тора гомотетиями. Оказывается, что рассматривать кольца Кокса полезно и в случае аффинных алгебраических многообразий, то есть, когда на многообразии изначально есть глобальные координаты, заданные регулярными функциями. В этом случае кольцо Кокса зачастую выполняет роль факториального кольца, в которое вложена алгебра функций. Часто кольцо Кокса имеет более простой вид, чем кольцо регулярных функций, поэтому его применение приносит плоды для изучения аффинных алгебраических многообразий. В курсе будут рассказаны как основы теории Колец Кокса, так и примеры их вычислений. Также будут даны применения колец Кокса для изучения автоморфизмов многообразий.
План курса:
Лекция 1
Аффинные и проективные алгебраические многообразия. Абстрактные алгебраические многообразия. Дивизоры Вайля.
Лекция 2
Порядок нуля или полюса рациональной функции на дивизоре. Группа главных дивизоров. Дивизоры Картье. Группа Классов и Группа Пикара.
Лекция 3
Градуированные кольца. Связь между градуировкой конечно порождённой абелевой группой и действием квазирора. Определение кольца Кокса.
Лекция 4
Кольцо Кокса не зависит от выборов при его определении с точностью до изоморфизма. Категорий фактор. Реализация Кокса аффинных многообразий.
Лекция 5
Торические многообразия. Комбинаторные данные. Орбиты.
Лекция 6
Кольца Кокса торических многообразий. Реализация Кокса для произвольных торических многообразий.
Лекция 7
Однородная факториальность Кольца Кокса. Факториальность в случае, когда группа классов дивизоров свободна.
Лекция 8
Достаточные условия того, что фактор является реализацией Кокса. Универсальный торсор. Применения к вычислению колец Кокса SL(2)-вложений.
Лекция 9
Кольца Кокса многообразий с действием тора. Теорема о связи Кольца Кокса исходного многообразия и фактора открытого подмножества.
Лекция 10
Многообразия с действием тора сложности 1. Триномиайльные многообразия.
Лекция 11
Поднятие автоморфизмов на кольцо Кокса. Автоморфизмы торических многообразий. Корни Демазюра.
Лекция 12
Атоморфизмы многообразий с действием тора сложности 1.
Лекция 13
Примеры не конечно порождённого кольца Кокса и кольца Кокса с обратимыми функциями.
Лекция 14
Кольца Кокса однородных пространств. Итерация Конструкции Кокса.
Лекция 15
Гибкость многообразий. Применение колец Кокса для доказательства гибкости орисферических многообразий.
