«Коммутативная алгебра»
Описание курса:
Курс будет посвящён основам коммутативной алгебры. Коммутативная алгебра - наука о коммутативных кольцах. Это базовая отрасль математики интересная как сама по себе, так и как основание других областей, например, алгебраической геометрии. Существует целый ряд ставших классическими книг по данной тематике. В рамках данного курса мы дадим систематическое изложение базы коммутативной алгебры, приводя в том числе геометрические примеры. Надеюсь, что данный курс вызовет интерес у студентов и будет продолжен и в весеннем семестре, в котором будут рассказаны более специальные разделы.
План курса:
Лекция 1.Место коммутативной алгебры в математике, связь с другими разделами.
Лекция 2.
Локализация. Кольца и модули конечной длины.
Лекция 3.
Ассоциированные простые идеалы. Примерное разложение. Факториальность.
Лекция 4.
Целая зависимость и целые расширения. Лемма Накаяма. Простые идеалы в целом расширении. Теорема Гильберта о нулях.
Лекция 5.
Фильтрации. Ассоциированное градуированное кольцо. Теорема Крулля о пересечении. Касательный конус.
Лекция 6.
Плоские модули. Функтор Tor.
Лекция 7.
Пополнения. Лемма Генделя.
Лекция 8.
Аксиомы размерности. Обсуждение свойств размерности.
Лекция 9.
Размерность по Круллю. Многочлен Гильберта.
Лекция 10.
Лемма Нетерпением о нормализации. Система параметров.
Лекция 11.
Размерность и коразмерность один. Обратимые модули и группа классов дивизоров.
Лекция 12.
Дедекиндовы области.
Лекция 13.
Многочлены Гильберта-Самюэля.
Лекция 14.
Размерность аффинных колец.
Лекция 15.
Теория исключения. Размерность слоёв.
