Гордиенко Алексей Сергеевич
«Теория категорий»
Описание курса:
Говорят, что задана категория, если задан класс объектов, которые могут быть множествами (а могут и не быть), и для каждых двух объектов задано множество морфизмов (стрелок) между этими объектами, которые могут являться (а могут и не являться) отображениями, сохраняющими некоторые свойства. Подобная общность позволяет, например, направить стрелки в противоположную сторону и получить категорию, двойственную к исходной. Кроме того, такая общность позволяет изучать сразу несколько категорий одновременно. Примерами категорий являются категория множеств, в которой морфизмы - это все отображения между множествами; категория групп, в которой морфизмы - это гомомоморфизмы групп; категория топологических пространств, в которой морфизмы - это непрерывные отображения. Частично упорядоченное множество - это тоже категория, объектами которой являются его элементы, а от элемента к элементу, большему или равному ему, существует стрелка. Теорию категорию можно считать следующим уровнем абстракции по сравнению с традиционной абстрактной алгеброй. Эта теория находит применение в самых различных областях математики, информатики и теоретической физики. В осеннем семестре планируется рассмотреть следующие темы: категории, функторы, естественные преобразования, пределы и копределы, мономорфизмы и эпиморфизмы, сопряжённые функторы, абелевы категории.
План курса:
Лекция 1
Категории. Категории множеств, векторных пространств, топологических пространств, групп, колец. Группа и предпорядок как категории. Функторы, примеры. Представление группы как функтор. Забывающие функторы. Естественные преобразования.
Лекция 2
Теоретико-множественные основания теории категорий. Универсум Гротендика. Категория как алгебраическая структура. Двойственные категории. Категории запятой.
Лекция 3
Изоморфизм и эквивалентность категорий. Полные и верные функторы. Критерий эквивалентности категорий.
Лекция 4
Лемма Йонеды. (Ко)универсальные квадраты (пулбэки и пушауты). (Ко)уравнители. (Ко)произведения. Универсальные отталкивающие и притягивающие объекты.
Лекция 5
Пределы и копределы. (Ко)конусы. (Ко)пределы в категории множеств и абелевых групп.
Лекция 6
Мономорфизмы и эпиморфизмы. Регулярные, сильные, экстремальные моно- и эпиморфизмы. Моно- и эпиморфизмы в категории групп.
Лекция 7
Сопряжённые функторы. Примеры. Тензорное произведение и Hom. (Ко)рефлективные категории. (Ко)единица сопряжения. Треугольные тождества. Критерии существования сопряжённого функтора.
Лекция 8
Теорема Фрейда о сопряжённом функторе.
Лекция 9
Специальная теорема о сопряжённом функторе.
Лекция 10
Сопряжённые функторы, зависящие от параметра.
Лекция 11
Свободные функторы.
Лекция 12
Ab-категории. Аксиомы (Ab1)-(Ab5) Гротендика и двойственные к ним. Аддитивные категории. Абелевы категории. (Ко)ядра, (ко)образы. Критерии абелевости. Свойства (ко)универсальных квадратов в абелевых категориях.
