Гордиенко Алексей Сергеевич
«Ассоциативные кольца»
Описание курса:
Ассоциативные кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики. Данный спецкурс посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна - Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна - Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй.
План курса:
Лекция 1.Модули.
Лекция 2.
Радикал Джекобсона.
Лекция 3.
Артиновы кольца.
Лекция 4.
Полупростые артиновы кольца.
Лекция 5.
Теорема плотности.
Лекция 6.
Теорема Веддербёрна - Артина.
Лекция 7.
Тензорное произведение модулей.
Лекция 8.
Проективные модули.
Лекция 9.
Бимодули. Сепарабельные алгебры.
Лекция 10.
Свойства сепарабельных алгебр.
Лекция 11.
Когомологическая размерность Хохшильда. Нульмерные алгебры.
Лекция 12.
Расширения алгебр.
Лекция 13.
Теорема Веддербёрна - Мальцева и её применение в современных исследованиях по PI-теории.
Лекция 14.
Инъективные модули. Инъективные и проективные резольвенты.
Лекция 15.
Функтор Ext.
Лекция 16.
Глобальная размерность.
Лекция 17.
Кольца малой глобальной размерности.
