Гордиенко Алексей Сергеевич
«Гомологическая алгебра (основные конструкции)»
Описание курса:
Данный спецкурс является продолжением спецкурса "Гомологическая алгебра", который читался автором в осеннем семестре 2024/2025 учебного года. Весенний семестр планируется посвятить когомологиям групп и расширениям групп; одному из главных технических средств гомологической алгебры - спектральным последовательностям, изначально введённым Ж. Лерэ в 1946 году в топологии, а затем нашедшим своё применение и в алгебре, и в алгебраической геометрии; симплициальным методам, а также категорным основаниям гомологической алгебры, в частности, комонадическим (котроечным) гомологиям, введёнными М. Барром и Дж. Беком в 1969 году. Последние представляют собой очень общий неабелевый подход, позволяющий получить в виде частных случаев важнейшие алгебраические теории (ко)гомологий.
План курса:
Лекция 1
(Ко)гомологии групп.
Лекция 2
Лемма Шапиро. Бар-резольвенты.
Лекция 3
Расширения групп. Универсальные центральные расширения.
Лекция 4
Cup-произведение для когомологий групп.
Лекция 5
Спектральные последовательности.
Лекция 6
Спектральная последовательность фильтрации. Классическая теорема сходимости.
Лекция 7
Теорема сходимости для полных фильтраций.
Лекция 8
Теорема сравнения Эйленберга-Мура.
Лекция 9
Спектральные последовательности двойного комплекса.
Лекция 10
Симплициальные объекты.
Лекция 11
Операции на симплициальных объектах.
Лекция 12
Комплекс Мура. Симплициальные гомотопические группы.
Лекция 13
Соответствие Дольда-Кана.
Лекция 14
Теорема Эйленберга-Зильбера.
Лекция 15
Монады и комонады.
Лекция 16
Канонические резольвенты.
Лекция 17
Комонадические (котроечные) гомологии.
