Гордиенко Алексей Сергеевич
«Гомологическая алгебра»
Описание курса:
Истоки гомологической алгебры восходят к работам Б. Римана, Э. Бетти и А. Пуанкаре второй половины XIX века. Гомологии дают алгебраическую картину топологических пространств, сопоставляя каждому пространству семейство абелевых групп (ко)гомологий, а каждому непрерывному отображению - гомоморфизмы между соответствующими группами. В 1940-х годах с появлением работ С. Маклейна, С. Эйленберга, а также Х. Хопфа, Г. Хохшильда, Д. К. Фаддева и других началось бурное применение методов гомологической алгебры в теории групп, колец, алгебр Ли, а с начала 1950-х годов - и в алгебраической геометрии и теории Галуа.
В осеннем семестре 2024 года планируется рассмотреть следующие темы: проективные и инъективные модули, производные функторы, функторы Tor и Ext, когомологии групп, Хохшильда и алгебр Ли, расширения групп, теоремы Веддербёрна-Мальцева и Леви.
План курса:
Лекция 1
Мотивировка. Комплексы. Точные последовательности. Клеточные пространства. Понятие об их гомологиях и когомологиях. Циклы и границы. Длинная точная последовательность пары.
Лекция 2
Модули над кольцами. Тензорное произведение модулей. Проективные и инъективные модули. Инъективная оболочка модуля.
Лекция 3
Абелевы категории. Теорема Фрейда-Митчелла (без доказательства).
Лекция 4
Проективные и инъективные резольвенты. Функторы точные слева и справа. Производные функторы.
Лекции 5
Лемма о змее (только формулировка; лемма была доказана в специальном курсе "Теория категорий"). Длинные точные последовательности. Функторы Tor и Ext.
Лекция 6
Двойные комплексы. Тензорное производение комплексов. Балансировка функторов Tor и Ext.
Лекция 7
Примеры вычисления Tor и Ext. Плоские модули.
Лекция 8
Ext и расширения модулей.
Лекция 9
Формула Кюннета. Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий.
Лекция 10
(Ко)гомологии групп.
Лекция 11
Лемма Шапиро. Бар-резольвенты.
Лекция 12
Расширения групп. Универсальные центральные расширения.
Лекция 13
Cup-произведение для когомологий групп.
Лекция 14
Когомологии Хохшильда.
Лекция 15
Теорема Веддербёрна-Мальцева.
Лекция 16
Когомологии алгебр Ли.
Лекция 17
Теорема Леви.
