Горицкий Андрей Юрьевич
«Уравнения с частными производными первого порядка: от классической локальной теории к глобальным энтропийным решениям»
Описание курса:
Очень симпатичная, несложная, геометрическая теория уравнений с частными производными первого порядка по стечению обстоятельств выпадает из стандартных учебных программ математических специальностей. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений обычно заканчивается темой "Уравнения с частными производными первого порядка", где изучается только локальная теория, и, как правило, только линейные уравнения. Изредка изложение касается и квазилинейных уравнений, нелинейные же УрЧП первого порядка из курса ОДУ выпадают полностью. Ну а обязательные курсы "Уравнения с частными производными" или "Уравнения математической физики", как и стандартные учебники по этим наукам для третьекурсников, посвящены (исключительно) линейным уравнения (и только) второго порядка. Этим спецкурсом попытаюсь перекинуть мостик от локальной теории, изучаемой на 2 курсе, к важнейшему в УрЧП понятию обобщённого решения в смысле интегрального тождества. Спецкурс также даст возможность студентам-механикам на простых примерах усвоить некоторые базовые понятия механики сплошной среды.
План курса:
Лекция 1
Линейные, квазилинейные и нелинейные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. Постановка задачи Коши.
Лекция 2
Теорема существования и единственности задачи Коши для нелинейного уравнения в окрестности нехарактеристической точки.
Лекция 3
Примеры нелинейных уравнений с частными производными первого порядка. Уравнение Гамильтона-Якоби. Уравнение эйконала геометрической оптики.
Лекция 4
Семейства прямых и их огибающие. Каустика и эволюта. Полукубическая парабола как эволюта параболы обычной. Астроида ― эволюта эллипса.
Лекция 5
Волновые фронты и их особенности. Принцип Гюйгенса. Перестройка волновых фронтов.
Лекция 6
Квазилинейное уравнение с одной пространственной переменной. Уравнение Хопфа. Условие существования гладкого решения в полосе. Формирование особенностей.
Лекция 7
Понятие обобщённого решения. Кусочно-гладкие решения. Условие Ранкина-Гюгонио. Неединственность обобщённого решения задачи Коши.
Лекция 8
Понятие обобщённого энтропийного решения. Случай выпуклой функции состояния. Е-условие Олейник.
Лекция 9
Метод “исчезающей вязкости”. Уравнение Бюргерса. Условие допустимости разрыва. Энтропия и необратимость процессов.
Лекция 10
Определение обобщённого решения по Кружкову. Теорема существования и единственности обобщённого энтропийного решения.
Лекция 11
Энергетические оценки для классических, обобщённых (в смысле интегрального тождества) и обобщённых энтропийных решений. Влияние диссипации и дисперсии.
Лекция 12
Решение задачи Римана о распаде произвольного разрыва в случае выпуклой функции состояния.
Лекция 13
Выпуклая оболочка функции на отрезке. Решение задачи Римана о распаде произвольного разрыва в общем случае.
Лекция 14
Уравнение Кортевега–де Фриза. Законы сохранения. Солитоны.
Лекция 15
Некоторые современные задачи: негладкая функция состояния; локально ограниченные решения; системы квазилинейных уравнений.
