Гугнин Дмитрий Владимирович
Описание курса:
Разветвленные накрытия многообразий размерности большей 2 и действия конечных групп - это классическая отрасль алгебраической топологии, которая недавно обогатилась новыми алгебраическими методами. В центре внимания этой науки в 60-70-е годы была классификация множества неподвижных точек действия конечной группы на заданном многообразии. В последние 10 лет возник новый подход к двум другим постановкам в этой области математики.
Первая постановка - это нахождение наиболее сильных нижних оценок на степень возможного разветвленного накрытия между двумя заданными многообразиями. Здесь возник метод gt_n-формулы (Гугнин, 2018), связанной с групповым трансфером и техникой n-гомоморфизмов Фробениуса (Бухштабер, Рис, 1996, Гугнин, 2011). Этот метод на данный момент является самым сильным в этой задаче.
Вторая постановка - нахождение явных конструкций разветвленных накрытий разного рода серий многообразий над сферами. Дубль-конструкция (Гугнин, 2019) позволила построить явное 2^{k-1}-листное разветвленное накрытие произведения k штук сфер произвольной размерности над сферой. До этого в размерности 5 и выше существовала только неэффективная конструкция Александера (1920), годящаяся для любого PL-многообразия.
Также в конце спецкурса планируется затронуть тему симметрических степеней римановых поверхностей и схем Гильберта точек на С^2. Спецкурс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов, интересующихся алгебраической топологией и топологией многообразий, а также их приложениями к алгебраической геометрии.
План курса:
Программа курса «Разветвленные накрытия многообразий и действия конечных групп»
1. Общая теория G-пространств, где G - конечная группа.
2. Симплициальные комплексы (конечные и счетные), барицентрическое подразбиение и его итерации.
3. Симплициальные когомологии и усреднение по действию конечной группы (групповой трансфер).
4. Степень отображения и доминирование ориентируемых многообразий, связь с фундаментальной группой.
5. PL-многообразия и кусочно-линейные (конечнолистные) разветвленные накрытия многообразий. Коразмерность множества ветвления.
6. Несовпадение (даже с точностью до гомотопии) понятия доминирования и понятия разветвленного накрытия.
7. Конструкция Александера (1920) разветвленного накрытия произвольного ориентируемого PL многообразия над сферой.
8. Существование 2-листного разветвленного накрытия над сферой в размерности 2 (гиперэллиптические поверхности).
9. Теорема Хирша-Хилдена-Монтезиноса (1974) о существовании 3-листного разветвленного накрытия над сферой в размерности 3.
10. Рациональная когомологическая длина пространства и оценка Берстейна-Эдмондса (1978).
11. gt_n-формула (Гугнин, 2018) как самый сильный на сегодняшний день метод получения нижних оценок на степень разветвленных накрытий многообразий.
12. Вывод оценки Берстейна-Эдмондса из gt_n-формулы.
13. n-гомоморфизмы Фробениуса коммутативных неградуированных алгебр (Бухштабер, Рис, 1996). n- гомоморфизмы Фробениуса градуировано коммутативных алгебр (2011). Доказательство gt_n-формулы.
14. Дубль-конструкция (Гугнин, 2019). Конструкция действия Z_2^{k-1} на произведении k штук сфер произвольных размерностей с факторпространством гомеоморфным сфере.
15. Симметрические степени римановых поверхностей. Симметрические степени С^2. Схемы Гильберта точек как каноническое разрешение особенностей симметрических степеней C^2. Открытые проблемы.
