Гугнин Дмитрий Владимирович
«Введение в теорию n-значных топологических групп и nH-пространств»
Описание курса:
Теория n-значных (топологических) групп и nH-пространств получила бурное развитие за последние 30 лет. Под n-значной топологической группой понимается хаусдорфово линейно связное пространство X с отмеченной точкой e (единицей группы) и n-значным умножением *:X×X→Sym^n(X)=X^n/S_n c аксиомами единицы ((x*e)=(e*x) = [x,x,...,x] для всех x из X), ассоциативности (((x*y)*z) = (x*(y*z)) как элементы Sym^{n^2}(X) для всех x,y,z из X) и наличия обратного отображения (инволютивного гомеоморфизма) inv:X→X с условием inv(x)*x и x*inv(x) содержат e для всех x из X. Первым примером 2-значной топологической (алгебраической) группы явилась классическая 2-значная группа на пространстве CP^1, открытая В.М.Бухштабером в 1990 г. Сейчас известны примеры 2^{n-1}-значных групп на всех сферах S^n и 2^{n-1}-значных групп на RP^n для всех нечетных n≥3. Хорошо известна структура (n+1)!-значной группы на CP^n для всех n≥1 (В.М.Бухштабер, середина 1990-х г.).
nH-пространства были в явном виде введены Д.В.Гугниным в работе 2011 года. В определении nH-пространства, по сравнению с определением n-значной топологической группы, остается только аксиома единицы. Это гомотопически инвариантное понятие для достаточно хороших пространств (связных компактных ENR и связных не более чем счетных CW-комплексов) и обобщает хорошо известное в алгебраической топологии понятие H-пространства в широком смысле (только аксиома единицы). При этом для хороших пространств строгая аксиома единицы равносильна гомотопической. Основным инструментом для нахождения препятствий в когомологиях для существования структуры nH-пространства является теория n-гомоморфизмов, изначально определенная В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом для коммутативных алгебр над полями нулевой характеристики в середине 1990-х годов и обобщенная Д.В.Гугниным в 2011 году на градуированно коммутативные алгебры над полями характеристики ноль и p>n. Ключевым понятием здесь выступает понятие n-предалгебры Хопфа: это связная градуированно коммутативная алгебра c диагональю D:A^*→A^*⊗A^*, которая является n-гомоморфизмом с обобщенным условием коединицы.
На этом пути за последние 15 лет Д.В.Гугниным и его учениками был получен ряд результатов. Приведем здесь некоторые из них. Было доказано, что минимальный класс конечно представимых групп, содержащий все фундаментальные группы компактных ориентируемых поверхностей рода g≥2 и замкнутый относительно прямого и свободного произведений на произвольную конечно представимую группу, является запрещенным классом фундаментальных групп для 2Н-пространств. Было показано, что любой связный конечный CW-комплекс X, с условием H_1(X;Z)=0, является nH-пространством для всех n≥dim(X). В частности, любая совершенная группа G является фундаментальной группой некоторого 2H-пространства. Кроме того, доказано, что любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2Н-пространствами. Было также доказано, что на СP^N, N≥2 нет структуры 2Н- и 3Н-пространства.
Первая постановка - это нахождение наиболее сильных нижних оценок на степень возможного разветвленного накрытия между двумя заданными многообразиями. Здесь возник метод gt_n-формулы (Гугнин, 2018), связанной с групповым трансфером и техникой n-гомоморфизмов Фробениуса (Бухштабер, Рис, 1996, Гугнин, 2011). Этот метод на данный момент является самым сильным в этой задаче.
Вторая постановка - нахождение явных конструкций разветвленных накрытий разного рода серий многообразий над сферами. Дубль-конструкция (Гугнин, 2019) позволила построить явное 2^{k-1}-листное разветвленное накрытие произведения k штук сфер произвольной размерности над сферой. До этого в размерности 5 и выше существовала только неэффективная конструкция Александера (1920), годящаяся для любого PL-многообразия.
Также в конце спецкурса планируется затронуть тему симметрических степеней римановых поверхностей и схем Гильберта точек на С^2. Спецкурс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов, интересующихся алгебраической топологией и топологией многообразий, а также их приложениями к алгебраической геометрии.
План курса:
Лекция 1.Базовые определения. Симметрические степени топологических пространств. Косетные и бикосетные n-значные топологические группы. 2-значная косетная алгебраическая группа на CP^1.
Лекция 2.
Конструкция удвоения и косетные 2^{n-1}-значные топологические группы на сферах S^n.
Лекция 3.
Косетные 2^{n-1}-значные группы на RP^n для нечетных n>1.
Лекции 4.
Симметрические степени компактных римановых поверхностей. Классическая (n+1)!-значная топологическая группа на CP^n и отображение Абеля-Якоби.
Лекция 5.
Понятие о (практически полной) классификации В.М.Бухштабера-А.П.Веселова-А.А.Гайфуллина коммутативных инволютивных двузначных групп (2022). Теорема А.А.Гайфуллина об автоматической коммутативности инволютивных двузначных групп (2024).
Лекция 6.
Завершение данной классификации (Д.В.Гугнин, 2025).
Лекции 7.
Симметрические степени CW-комплексов: классическое вычисление фундаментальной группы.
Лекция 8.
nH-пространства: определение и первые примеры. Инвариантность относительно ретракций. Равносильность строгой и гомотопической аксиом единицы для счетных CW-комплексов. Гомотопическая инвариантность понятия nH-пространства для счетных CW-комплексов.
Лекция 9.
Понятие n-гомоморфизма градуированно коммутативных алгебр над произвольными полями. Рекурсия Фробениуса. Сумма n-гомоморфизма и m-гомоморфизма есть (n+m)-гомоморфизм.
Лекция 10.
Понятие n-предалгебра Хопфа. Классификация Лере-Хопфа 1-предалгебр Хопфа (= предалгебр Хопфа) над полем нулевой характеристики. Теорема А.Бореля о классификации предалгебр Хопфа конечного типа над совершенными полями положительной характеристики (без доказательства).
Лекция 11.
Теорема о групповом трансфере для симплициального действия конечной группы G на конечном или счетном симплициальном комплексе.
Лекция 12.
Рациональное кольцо когомологий для n-ных симметрических степеней Sym^n(X) счетных CW-комплексов X конечного гомологического типа и лемма целочисленности Накаоки. Кольцевые гомоморфизмы из H^*(Sym^n(X);Q) как n-гомоморфизмы из H^*(X;Q). Отсутствие на CP^N, N≥2, структуры 2H-пространства и 3H-пространства.
Лекция 13.
nΔ-пространства. Любая надстройка и любая гомологическая сфера являются 2H-пространствами.
Лекция 14.
Любой связный конечный СW-комплекс X с условием H_1(X;Z)=0 есть nH-пространство для всех n≥dim(X).
Лекция 15.
Открытые вопросы теории n-значных топологических групп и nH-пространств.
