Иванов Александр Олегович и Тужилин Алексей Августинович
«Геометрия пространств компактов с метриками Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа»
Описание курса:
В этом семестре мы сосредоточим наше внимание на естественном обобщении метрики Громова-Хаусдорфа на случай метрических пространств с дополнительной структурой – так называемых метрических троек Громова или mm-пространства (mm spaces = metric measure spaces). Это тройки (X,d,m), где X --- топологическое пространство, d - метрика, порождающая топологию пространства X, и m - борелевская мера на X. Как правило, X будет польским пространством, т.е. гомеоморфным полному сепарабельному метрическому пространству, а d будет некоторой полной метрикой на X. Топология пространства X порождает борелевскую сигма-алгебру B и, тем самым, позволяет рассматривать X как измеримое пространство. Мера m предполагается определенной на B и, как правило, или конечной, в частности, вероятностной, или сигма-конечной, где последнее означает, что пространство X покрывается счетным числом борелевских подпространств конечной меры.
Мы начнем с результатов, посвященных изучению возможных топологий польских пространств, т.е. их классов гомеоморфности. Описание оказывается достаточно сложным, и мы приведем лишь ряд наиболее простых примеров. Затем мы перейдем к классификации измеримых пространств (X, B) с точностью до измеримого изоморфизма. На самом деле, мы приведем более общий результат, а именно, мы расширим класс объектов, добавив к польским пространствам все их борелевские подмножества. Такие подмножества, вместе с индуцированными на них борелевскими сигма-алгебрами, называются борелевскими пространствами. Оказывается, можно легко описать классы измеримой изоморфности борелевских пространств (теорема Куратовского), что даст нам соответствующее описание и для польских пространств. Впрочем, для доказательства теоремы Куратовского нам потребуется развить некоторую технику. Наконец, для пространств с мерой, в нашем случае для (X, B, m), мы будем изучать классы изоморфизмов таких пространств (эти изоморфизмы сохраняют не только сигма-алгебры, но и меры). Оказывается, даже с условием на меру, классификация таких пространств достаточно проста (теорема Рохлин).
Затем мы перейдем к изучению метрических троек Громова. По утверждению Вершика, устройство этих пространств, в отличие от рассмотренных выше случаев польских пространств и борелевских пространств с мерой, является вполне обозримым, хотя и не тривиальным. Особенно нас будет интересовать устройство гиперпространства, точками которого являются метрические тройки Громова. Для начала мы ограничимся вероятностными мерами m, и введем семейство функций расстояния между mm-пространствами. Идея, лежащая в основе определения этих расстояний, состоит в комбинировании техники расстояний Громова-Хаусдорфа между метрическими пространствами и Lp-расстояния Канторовича-Вассерштейна между вероятностными мерами на метрических пространствах (которые мы рассматривали в предыдущих семестрах). Мы займемся изучением полученного пространства: сходимости последовательностей в нем, наличию геодезических и их устройству, и др. Для p=2 мы покажем, что это пространство, обозначим его X, имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Также опишем коническую структуру пространства X. Оказывается, пространство X не является полным, однако его пополнение X' можно описать в тех же терминах: достаточно ослабить условие на метрику, заменив ее псевдометрикой. Следующее ослабление метрики (мы отказываемся от неравенства треугольника) приводит к калибровочным пространствам с мерой или gm-пространствам (gm = gauge measure). Соответствующее гиперпространство Y полезно при изучении X', где последнее, как оказывается, представляет собой выпуклое замкнутое подмножество Y. Мы изучим структуру пространства Y и покажем, что оно является полным геодезическим метрическим пространством неотрицательной кривизны.
В заключение мы приведем пример, демонстрирующий, как вписывается в построенную выше теорию семейство n-точечных пространств.
План курса:
1. Топология польских пространств. Теорема П.С. Александрова.
2. Борелевские подмножества и борелевские пространства. Теорема Куратовскоо об изоморфизме.
3. Борелевские пространства с мерой. Теорема Рохлина об борелевском изоморфизме.
4. Метрические тройки Громова (mm-пространства). Диаметр mm-пространства и его p-размер. Спаривание вероятностных мер, лемма о склеивании. Расстояния p-искажения, достижимость, неравенство треугольника.
5. Изоморфизм mm-пространств. Пространства Xp mm-пространств с расстоянием p-искажения. Доказательство того, что Xp – метрические пространства.
6. Топология пространств Xp, сходимость в этих пространствах.
7. P-транспортное расстояние между mm-пространствами. Связь между расстоянием искажения и транспортным расстоянием.
8. Ящичное расстояние Громова, связь с 0-расстоянием искажения и 0-транспортным расстоянием.
9. Геодезические в пространствах Xp.
10. Коническая структура пространства X2. Доказательство того, что X2 является пространством А.Д. Александрова неотрицательной кривизны.
11. Пространство направлений, касательный конус и градиенты на пополнении пространства X2.
12. Калибровочные пространства с мерой (gm-пространства), расстояние между этими пространствами, достижимость.
13. Пространство Y gm-пространств. Доказательство того, что пространство Y – полное, геодезическое, неотрицательной кривизны в смысле А.Д.Александрова.
14. Псевдометрические пространства с мерой. Замыкание пространства X2, доказательство того, что это замыкание – замкнутое выпуклое подмножество Y.
15. Семейство n-точечных пространств.
