Клячко Антон Александрович
«Комбинаторная теория групп»
Описание курса:
Спецкурс представляет собой введение в теорию групп. Студент, сдавший этот спецкурс, считается готовыми к научной работе. Приглашаются все, знакомые с основными понятиями теории групп (подгруппа, факторгруппа, гомоморфизм...) и желающие узнать что-нибудь ещё. Для понимания спецкурса слушатели должны ориентироваться в основных понятиях этой науки. В частности, необходимо понимать, что такое подгруппа, факторгруппа, гомоморфизм, центр, коммутант и т. п. Необходимо знать теорему о гомоморфизмах и теорему о строении конечно порождённых абелевых групп. Неплохо также иметь некоторое представление о теории колец. Заведомо достаточно знать алгебру в объёме обязательного курса.
Как устроен этот спецкурс? Сперва мы изучаем абелевы группы, потом — похожие на них, потом — менее похожие, потом — совсем непохожие.
Чего нет в этом спецкурсе? Прежде всего, нет теории конечных групп. Словосочетание «конечная группа» встречается почти в каждой лекции, но нам интересно в первую очередь, насколько бесконечные группы могут быть похожи или непохожи на конечные. На этом спецкурсе мы не занимаемся топологическими группами, группами Ли, алгебраическими группами, упорядоченными группами, гомологиями групп и другими важными разделами теории групп. Мы ничего не говорим о многочисленных приложениях теории групп к другим областям математики, а также к физике, к химии, к криптографии и к прочим наукам.
Зато мы стараемся показать, какие приложения к теории групп имеют другие разделы математики, например, коммутативная алгебра. Особенно нас радует возможность применения геометрических соображений к решению теоретико-групповых задач. Именно этому целиком посвящён весенний семестр.
План курса:
Лекция 1
Графы Кэли.
Лекция 2
Геометрические свойства подгрупп.
Лекция 3
Квазиизометричность.
Лекция 4
Свободные группы.
Лекция 5
Лемма о пинг-понге.
Лекция 6
Подгруппы свободных групп.
Лекция 7
Группы, свободно действующие на деревьях.
Лекция 8
Фундаментальная группа графа.
Лекция 9
Накрытия графов.
Лекция 10
Формула Шрайера.
Лекция 11
Теорема Хаусона.
Лекция 12
Копредставления групп.
Лекция 13
Преобразования Тице.
Лекция 14
Копредставления подгрупп и факторгрупп.
Лекция 15
Алгоритмические проблемы.
Лекция 16
Свободные конструкции.
Лекция 17
Теорема Куроша.
Лекция 18
Теорема Грушко.
Лекция 19
Свободные произведения с объединёнными погруппами и HNN-расширения.
Лекция 20
Лемма Бриттона.
Лекция 21
Действия на деревьях.
Лекция 22
Вложимость всякой счётной группы - в полную счётную - в простую счётную - в 2-порождённую (и несуществование универсальной счётной группы).
Лекция 23
Пример нехопфовой конечно порождённой группы.
Лекция 24
Диаграммы ван Кампена.
Лекция 25
Условия малого сокращения.
