Коняев Андрей Юрьевич
«Введение в геометрию Нийенхейса и приложения»
Описание курса:
Полугодовой спецкурс посвящен геометрии Нийенхейса и читается для студентов разных кафедр и аспирантов, знакомых с основами дифференциальной геометрии и тензорного исчисления. В курсе рассказывается про нормальные формы операторов Нийенхейса в регулярных и сингулярных точках, левосимметрических алгебрах и задаче линеаризации. Помимо этого, речь пойдет о теории когомологий операторов Нийенхейса. Рассказ снабжен примерами из разных областей алгебры, геометрии и математической физики. Несколько лекций посвящены конкретным приложениям геометрии в теории бигамильтоновых структур, бесконечномерных интегрируемых системах и системах на алгебрах Ли.План курса:
Лекция 1
Вводная лекция
a. Что такое геометрия?
b. Сравнение с геометрией Пуассона
c. Три определения оператора Нийенхейса
d. Базовые свойства, вытекающие из этих определений. Свертка кручения Нийенхейса
Лекция 2
Теорема о расщеплении
a. Функции от оператора
b. Теорема Маргеляна (без док-ва)
c. Доказательство теоремы о расщеплении
d. Регулярные и сингулярные точки и универсальность теоремы о расщеплении
Лекция 3
Регулярные точки I: классические теоремы
a. Что изучал Нийенхейс? Задача о диагонализации
b. Теорема Фробениуса о системе координат
c. Теорема Нийенхейса
d. Тензор Хаантьеса, его базовые свойства
e. Теорема Хаантьеса
Лекция 4
Регулярные точки II: постоянные нормальные формы
a. Задача о приведении оператора к постоянному виду
b. Ограничение оператора Нийенхейса на распределение, фактор-оператор Нийехейса
c. Теорема Томпсона. Следствие для жордановой клетки с постоянным собственным значением
d. Случай L^2 = 0. Нормальные формы, операторы Нийенхейса на группе Ли
Лекция 5
Регулярные точки III: жорданова клетка с непостоянным собственным значением
a. Нормальная жорданова форма в линейной алгебре и геометрии Нийенхейса - фундаментальное различие
b. Жорданова клетка с непостоянным собственным значением в размерности два
c. Жорданова клетка с непостоянным собственным значением в произвольной размерности
Лекция 6
Регулярные точки IV: комплексный случай
Скобка Фролихера-Нийенхейса, ее свойства
a. Теорема Ньюландера-Ниренберга (без доказательства)
b. Теорема о комплексной структуре
c. Теорема о постоянстве комплексных собственных значений на компактном многообразии. Следствие для четырехмерной сферы
Лекция 7
Особые точки I: дифференциально-невырожденные операторы
a. Три класса особых точек: дифференциально-невырожденные, gl-регулярные, скалярного типа
b. Первая фробениусова нормальная (ПФН) форма дифференциально-невырожденных операторов
c. Устойчивость к возмущениям
d. Вторая фробениусова нормальная (ВФН) форма дифференциально-невырожденных операторов
Лекция 8
Особые точки II: gl-регулярные особые точки
a. Условия разрешимости системы аналитических УрЧП: теорема Коши-Ковалевской, теорема Картана-Кэлера
b. Квазилинейные системы и условия согласованности. Кручение Фролихера-Нийенхейса
c. ПФН форма для gl-регулярных операторов. Условия согласованности
d. ВФН форма для gl-регулярных операторов. Условия согласованности
e. Операторы Магри-Лоренцони. Проверка условия согласованности и завершение доказательства теоремы
Лекция 9
Особые точки II: gl-регулярные особые точки (продолжение)
a. Коэффициенты характеристического многочлена и условиях на них
b. Уравнение Хопфа и концепция неявного интегрирования
c. Неявное интегрирование системы для коэффициентов характеристического многочлена
d. Возмущение жорданова блока - типы алгебраических перестроек
Лекция 10
Особые точки III: особые точки скалярного типа
a. Левосимметрические алгебры, их свойства
b. Лемма Уинтерхалдера
c. Особые точки скалярного типа и ассоциированная левосимметрическая алгебра
d. Задача линеаризации: формальная, аналитическая и гладкая категории
e. Формальная и аналитическая линеаризация прямой суммы одномерных левосимметрических алгебр
Лекция 11
Особые точки III: особые точки скалярного типа (продолжение)
a. Задача линеаризации в двумерном случае
b. Классификация двумерных левосимметрических алгебр
c. Доказательство невырожденности b^+_4
d. Доказательство вырожденности b_5
e. Случай b_{1, \alpha}
Лекция 12
Когомологии I: базовые понятия
a. Дифференциальные формы и градуированные дифференцирования
b. Градуированные коммутатор и его свойства
c. Алгебраические дифференцирования и векторозначные дифференциальные формы. Скобка Ричардсона-Нийенхейса
d. Теорема о разложении дифференцирования в прямую сумму. Скобка Фролихера-Нийенхейса и ее свойства
Лекция 13
Когомологии II: большие и малые гомологии
a. Большие когомологии Фролихера-Нийенхейса
b. Леммы Пуанкаре для разных геометрий Нийенхейса. Связь с линеаризацией в формальной категории
c. Малые когомологии Фролихера-Нийенхейса
d. Леммы Пуанкаре для разных геометрий Нийенхейса. Одна когомологическая задача
Лекция 14
Приложение I: структуры Пуассона-Нийенхейса
a. Скобка Пуассона. Базовые понятия и свойства
b. Согласованные скобки Пуассона, интегралы и бигамильтоновы интегрируемые системы
c. Структура Пуассона-Нийенхейса. Кокасательное расслоение к многообразию Нийенхейса с примерами
d. Теорема Дарбу для структуры Пуассона-Нийенхейса. Применение малых когомологий Фролихера-Нийенхейса
Лекция 15
Приложение II: алгебраические операторы Нийенхейса
a. Левоинварианатные операторы на группе Ли
b. Алгебраический оператор Нийенхейса, его свойства
c. Примеры алгебраических операторов Нийенхейса
d. Конечномерные интегрируемые системы, ассоциированные с операторами Нийенхейса
Лекция 16
Приложение III: бесконечномерные интегрируемые системы
a. Формальное пространство петель и вариационные скобки Пуассона
b. Скобки гидродинамического типа и согласованные метрики. Нийенхейсовы пучки
c. Многокомпонентные KdV, Camassa-Holm и Harry Dym
d. Законы сохранения и гамильтоновы потоки, выписанные в терминах оператора Нийенхейса
