Коняев Андрей Юрьевич

Коняев Андрей Юрьевич

«Введение в геометрию Нийенхейса и приложения»

Описание курса:

Полугодовой спецкурс посвящен геометрии Нийенхейса и читается для студентов разных кафедр и аспирантов, знакомых с основами дифференциальной геометрии и тензорного исчисления. В курсе рассказывается про нормальные формы операторов Нийенхейса в регулярных и сингулярных точках, левосимметрических алгебрах и задаче линеаризации. Помимо этого, речь пойдет о теории когомологий операторов Нийенхейса. Рассказ снабжен примерами из разных областей алгебры, геометрии и математической физики. Несколько лекций посвящены конкретным приложениям геометрии в теории бигамильтоновых структур, бесконечномерных интегрируемых системах и системах на алгебрах Ли.

План курса:

Лекция 1

Вводная лекция

a. Что такое геометрия?

b. Сравнение с геометрией Пуассона

c. Три определения оператора Нийенхейса

d. Базовые свойства, вытекающие из этих определений. Свертка кручения Нийенхейса

Лекция 2

Теорема о расщеплении

a. Функции от оператора

b. Теорема Маргеляна (без док-ва)

c. Доказательство теоремы о расщеплении

d. Регулярные и сингулярные точки и универсальность теоремы о расщеплении

Лекция 3

Регулярные точки I: классические теоремы

a. Что изучал Нийенхейс? Задача о диагонализации

b. Теорема Фробениуса о системе координат

c. Теорема Нийенхейса

d. Тензор Хаантьеса, его базовые свойства

e. Теорема Хаантьеса

Лекция 4

Регулярные точки II: постоянные нормальные формы

a. Задача о приведении оператора к постоянному виду

b. Ограничение оператора Нийенхейса на распределение, фактор-оператор Нийехейса

c. Теорема Томпсона. Следствие для жордановой клетки с постоянным собственным значением

d. Случай L^2 = 0. Нормальные формы, операторы Нийенхейса на группе Ли

Лекция 5

Регулярные точки III: жорданова клетка с непостоянным собственным значением

a. Нормальная жорданова форма в линейной алгебре и геометрии Нийенхейса - фундаментальное различие

b. Жорданова клетка с непостоянным собственным значением в размерности два

c. Жорданова клетка с непостоянным собственным значением в произвольной размерности

Лекция 6

Регулярные точки IV: комплексный случай

Скобка Фролихера-Нийенхейса, ее свойства

a. Теорема Ньюландера-Ниренберга (без доказательства)

b. Теорема о комплексной структуре

c. Теорема о постоянстве комплексных собственных значений на компактном многообразии. Следствие для четырехмерной сферы

Лекция 7

Особые точки I: дифференциально-невырожденные операторы

a. Три класса особых точек: дифференциально-невырожденные, gl-регулярные, скалярного типа

b. Первая фробениусова нормальная (ПФН) форма дифференциально-невырожденных операторов

c. Устойчивость к возмущениям

d. Вторая фробениусова нормальная (ВФН) форма дифференциально-невырожденных операторов

Лекция 8

Особые точки II: gl-регулярные особые точки

a. Условия разрешимости системы аналитических УрЧП: теорема Коши-Ковалевской, теорема Картана-Кэлера

b. Квазилинейные системы и условия согласованности. Кручение Фролихера-Нийенхейса

c. ПФН форма для gl-регулярных операторов. Условия согласованности

d. ВФН форма для gl-регулярных операторов. Условия согласованности

e. Операторы Магри-Лоренцони. Проверка условия согласованности и завершение доказательства теоремы

Лекция 9

Особые точки II: gl-регулярные особые точки (продолжение)

a. Коэффициенты характеристического многочлена и условиях на них

b. Уравнение Хопфа и концепция неявного интегрирования

c. Неявное интегрирование системы для коэффициентов характеристического многочлена

d. Возмущение жорданова блока - типы алгебраических перестроек

Лекция 10

Особые точки III: особые точки скалярного типа

a. Левосимметрические алгебры, их свойства

b. Лемма Уинтерхалдера

c. Особые точки скалярного типа и ассоциированная левосимметрическая алгебра

d. Задача линеаризации: формальная, аналитическая и гладкая категории

e. Формальная и аналитическая линеаризация прямой суммы одномерных левосимметрических алгебр

Лекция 11

Особые точки III: особые точки скалярного типа (продолжение)

a. Задача линеаризации в двумерном случае

b. Классификация двумерных левосимметрических алгебр

c. Доказательство невырожденности b^+_4

d. Доказательство вырожденности b_5

e. Случай b_{1, \alpha}

Лекция 12

Когомологии I: базовые понятия

a. Дифференциальные формы и градуированные дифференцирования

b. Градуированные коммутатор и его свойства

c. Алгебраические дифференцирования и векторозначные дифференциальные формы. Скобка Ричардсона-Нийенхейса

d. Теорема о разложении дифференцирования в прямую сумму. Скобка Фролихера-Нийенхейса и ее свойства

Лекция 13

Когомологии II: большие и малые гомологии

a. Большие когомологии Фролихера-Нийенхейса

b. Леммы Пуанкаре для разных геометрий Нийенхейса. Связь с линеаризацией в формальной категории

c. Малые когомологии Фролихера-Нийенхейса

d. Леммы Пуанкаре для разных геометрий Нийенхейса. Одна когомологическая задача

Лекция 14

Приложение I: структуры Пуассона-Нийенхейса

a. Скобка Пуассона. Базовые понятия и свойства

b. Согласованные скобки Пуассона, интегралы и бигамильтоновы интегрируемые системы

c. Структура Пуассона-Нийенхейса. Кокасательное расслоение к многообразию Нийенхейса с примерами

d. Теорема Дарбу для структуры Пуассона-Нийенхейса. Применение малых когомологий Фролихера-Нийенхейса

Лекция 15

Приложение II: алгебраические операторы Нийенхейса

a. Левоинварианатные операторы на группе Ли

b. Алгебраический оператор Нийенхейса, его свойства

c. Примеры алгебраических операторов Нийенхейса

d. Конечномерные интегрируемые системы, ассоциированные с операторами Нийенхейса

Лекция 16

Приложение III: бесконечномерные интегрируемые системы

a. Формальное пространство петель и вариационные скобки Пуассона

b. Скобки гидродинамического типа и согласованные метрики. Нийенхейсовы пучки

c. Многокомпонентные KdV, Camassa-Holm и Harry Dym

d. Законы сохранения и гамильтоновы потоки, выписанные в терминах оператора Нийенхейса