Маркова Ольга Викторовна
«Структурная теория матриц»
План курса:
Полугодовой спецкурс посвящён структурной теории матричных алгебр. Предполагается рассмотреть подалгебры алгебры матриц над различными полями, их строение и основные числовые характеристики. Акцент планируется сделать на вопросах, связанных с системами порождающих полной матричной алгебры и её подалгебр, в частности, коммутативных и верхнетреугольных алгебр. Из числовых параметров будут рассмотрены размерность, минимальная мощность системы порождающих и длина.
Изучение матричных подалгебр является классической областью исследований, которая активно развивалась в течение XX века, и в настоящее время продолжает привлекать интерес математиков по всему миру. Целью курса является, с одной стороны, знакомство слушателей с наиболее яркими классическими результатами о матричных подалгебрах. Планируется рассмотреть развитие теории матриц хронологическом порядке и обсудить со слушателями такие результаты, как теорема Бернсайда 1905 г. о порождающих полной алгебры матриц, теорема МакКоя 1936 г. о триангулизуемых матричных алгебрах, теорема Шура 1905 г. о размерности коммутативных матричных алгебр с доказательством Джекобсона 1944 г., нормальная форма Дрейзина 1951 г. для систем матриц, коммутирующих с точностью до множителя, теорема Герштенхабера 1961 г. о размерности двупорождённой коммутативной матричной алгебры, теоремы Лаффи 1983 г. о мощности неуменьшаемых систем порождающих полной матричной алгебры. С другой стороны, задачей курса является и знакомство с несколькими известными открытыми проблемами. В частности, несколько лекций будет посвящено гипотезе Паза 1984 г. о длине полной матричной алгебры и её систем порождающих. Здесь будут представлены как результаты Паза и Паппачены 1980-90х гг., так и новые результаты, принадлежащие автору курса. Предполагается показать насколько близко вышеозначенные классические результаты соседствуют с новыми открытыми направлениями. Специальных знаний, выходящих за пределы основной программы по алгебре, от слушателей не требуется.
План курса:
Лекция 1.
Основные числовые характеристики матричных подалгебр. Теорема Бернсайда о матричных алгебрах и её следствия о блочной структуре и возможных размерностях собственных подалгебр алгебры матриц над алгебраическими замкнутыми полями.
Лекция 2.
Треугольные матричные подалгебры. Одновременная триангулизуемость семейств матриц и порождённых ими алгебр. Теорема МакКоя (критерий триангулизуемости).
Лекция 3.
Централизатор матрицы, его размерность. Теорема о втором централизаторе.
Лекции 4-5.
Коммутативные матричные подалгебры. Теорема Шура (верхняя граница размерности коммутативной алгебры). Описание алгебр максимальной размерности. Построение максимальной по включению коммутативной алгебры размерности, меньшей порядка матриц.
Лекция 6.
Одно- и двупорождённые коммутативные матричные подалгебры. Теорема Герштенхабера (верхняя граница размерности двупорождённой коммутативной алгебры).
Лекция 7.
Циклические матрицы и порождённые ими алгебры.
Лекции 8-9.
Системы порождающих. Неуменьшаемые системы порождающих полной матричной алгебры, их максимальная мощность.
Лекция 10.
Системы порождающих, состоящие из матриц с квадратичными минимальными многочленами, в том числе идемпотентов.
Лекция 11.
Возможные обобщения коммутативности. Матрицы, коммутирующие с точностью до множителя, и порождённые ими алгебры. Нормальная форма Дрейзина.
Лекция 12.
Функция длины алгебры. Гипотеза Паза о длине матричной алгебры. Её доказательство для матриц малых порядков. Оценки длины систем порождающих матричной алгебры, содержащих матрицы заданного ранга.
Лекция 13.
Доказательство гипотезы Паза при наличии в системе порождающих циклической матрицы.
Лекция 14.
Длина треугольных матричных алгебр. Построение примера, показывающего, что длина подалгебры бывает больше длины алгебры.
Лекция 15.
Длина коммутативных алгебр. Алгебры, порождённые циклическими матрицами, как алгебры максимальной длины.
