«Механика неньютоновских жидкостей»
Описание курса:
Спецкурс посвящен математическим методам исследования течений неньютоновских жидкостей. В курсе изложены подробные постановки краевых задач, известные точные аналитические решения, вариационные формулировки задач, асимптотические и вариационные методы. Основное место занимает вязкопластичная жидкость. Модель вязкопластичной среды впервые была предложена Ф.Н. Шведовым, и, независимо от него, Э.К. Бингамом для описания движения суспензий в условиях чистого сдвига (одномерная модель). Позднее А.А.Ильюшин предложил пространственное обобщение уравнения состояния Шведова-Бингама, дал вариационную постановку и решил ряд задач для случая плоских течений вязкопластичной среды при исследовании задач о течении металлов. В дальнейшем эта модель подробно исследовалась Дж.Г. Олройдом, В.Прагером, П.П.Мосоловым, В.П.Мясниковым, а также Г.Дюво и Ж.Л.Лионсом.
В природе и технике существует широкий круг материалов, которые обладают поведением среды Бингама (простейшей модели вязкопластический жидкости), а именно: ниже определенного предельного значения напряжений (предела текучести) среда ведет себя как жесткое тело, выше этого предела – как несжимаемая вязкая жидкость. Примерами могут служить геоматериалы (глины, грязи, сырая нефть, а также сели, оползни, кристаллизующаяся лава), твердое топливо, металлы при обработке давлением, множество косметических (кремы, гели, зубная паста) и пищевых продуктов (жидкий шоколад, мед, тесто), строительные (свежий бетон, масляные краски) и химические (коллоидные растворы, порошкообразные смеси, полимерные соединения) материалы. Модель Бингама является классической двухпараметрической моделью: когда один из двух параметров равен нулю, она превращается либо в вязкую жидкость, либо в модель идеальной пластичности. Обычно эта модель лишь кратко излагается в некоторых монографиях по вязкой жидкости, в общих курсах по механике сплошной среды, в задачниках по механике сплошной среды или же в монографиях по реологии. Ранее вязкопластичная среда рассматривалась как один из вариантов теории пластичности и относилась к механике твердого деформируемого тела (МДТТ), так же как и вязкоупругость. В нашей стране и вязкоупругость, и вязкопластичность и сейчас относятся к МДТТ. В зарубежных исследованиях эти два раздела механики сплошных сред рассматриваются, как неньютоновские жидкости и относятся к гидромеханике.
В области деформируемой вязкопластичнй среды могут быть зоны, в которых жидкость ведет себя как твердое тело (жесткие зоны). При возрастании предела текучести эти зоны увеличиваются, а при достаточно большом значении предела текучести блокируют течение. Когда в области имеют место оба вида движения, то говорят о существовании "поверхности текучести", которая разделяет две области с разным движением материала. Таким образом, характерной особенностью задачи о течении вязкопластичной среды является необходимость строить решения в областях с неизвестной границей. Это обстоятельство создает значительные трудности при построении эффективных методов их исследования и численного решения.
Основная сложность при численном моделировании течения вязкопластичной среды связана с сингулярностью определяющих соотношений и невозможностью определить напряжения в тех областях, где скорость деформации равна нулю. Для того чтобы преодолеть отмеченные трудности, вводятся различные модификации модели бингамовской жидкости, так называемые регуляризованные модели. Методы регуляризованной вязкости состоят в аппроксимации определяющих соотношений гладкой функцией, которая описывает одновременно как жесткую зону, так и зону течения. Таким образом, среда рассматривается как нелинейная вязкая жидкость (без образования предельной поверхности). Использование регуляризованных моделей иногда приводит к неправильной форме жестких зон. Существует класс важных задач, для которых регуляризованные модели моделируют качественно неправильное поведение среды, так как фактически описывают поведение нелинейных вязких жидкостей. Альтернативой регуляризованным моделям могут служить численные методы, основанные на теории вариационных неравенств. Эти методы основаны на точной модели Бингама и множителях Лагранжа. Активное использование последних методов началось в 2001 году. Сейчас эти методы получили широкое распространение.
Асимптотические методы для вязкопластичных моделей также имеют свои особенности. Если для вязкой жидкости и модели идеальной пластичности нулевое приближение дает хороший результат, то в случае вязкопластичности нулевое приближение приводит к нефизичному решению. Для того, чтобы асимптотическое решение хорошо описывало реальное поведение среды и согласовывалось с численным решением, необходимо получить асимптотическое решение высокого порядка.
В последнее время стали активно использовать в исследованиях более сложные модели вязкопластичности, а именно модели Кэссона и Гершель-Балкли. Кроме того, ранее рассматривались только граничные условия прилипания (условия Дирихле). Сейчас учитывают более сложные граничные условия порогового скольжения. К сожалению, в настоящее время большинство отечественных исследователей используют устаревшие методы исследования, не соответствующие мировому уровню. Вязкопластичные модели требуют высокого уровня математической подготовки, поэтому студенты механико-математического факультета, если они заинтересуются данной тематикой, могут с успехом работать в данной области.
План курса
Лекция 1.
Вязкие жидкости. Определяющие соотношения, полная система уравнений, аналитические решения.
Лекция 2.
Жидкости со степенной вязкостью: дилатантные и псевдопластические. Определяющие соотношения.
Лекция 3.
Вариационная постановка и численные методы решения задач для вязких жидкостей.
Лекции 4.
Вариационная постановка и численные методы решения задач для жидкостей со степенной вязкостью.
Лекция 5.
Вязкопластичные жидкости. Определяющие соотношения, полная система уравнений, известные аналитические решения.
Лекция 6.
Постановка дифференциальной и вариационной задач вязкопластичности.
Лекции 7.
Выпуклые множества, функции, задачи. Субдифференциал. Вариационные неравенства. Задача минимизации выпуклого функционала и поиск седловой точки Лагранжиана. Метод расширенного Лагранжиана (ALM).
Лекция 8.
Численные методы решения задач вязкопластичности: методы регуляризации и методы, основанные на вариационных неравенствах (ALM). Быстрый проксимальный метод (Fista).
Лекция 9.
Течение в каналах с произвольным поперечным сечением: дифференциальная и вариационная постановки задачи, качественные особенности течения. Особенности решения при граничных условиях прилипания и порогового скольжения.
Лекция 10.
Аналитическое решение для границ жестких зон при течении вязкопластичной жидкости в каналах с поперечными сечениями в виде многоугольников. Метод годографа.
Лекция 11.
Нестационарные задачи для течения вязкопластичной среды в каналах. Задача остановки течения. Особенности решения при граничных условиях прилипания, закона скольжения Навье и порогового скольжения.
Лекция 12.
Сжатие материала между пластинами. Асимптотическое и численное решения. Граничные условия прилипания и порогового скольжения.
Лекция 13.
Движение пузырька в вязкопластической среде. Оседание частиц.
Лекция 14.
Вязкоупругие жидкости. Опыты на релаксацию и ползучесть. Стареющие и нестареющие материалы. Интеграл Лебега. Простейшие вязкоупругие модели Максвелла и Фойхта.
Лекция 15.
Постановка задачи линейной вязкоупругости. Метод преобразования Лапласа по времени.
Лекция 16.
Метод аппроксимации в вязкоупругости.
