Панов Тарас Евгеньевич
«Двойственность в алгебраической топологии»
Описание курса:
В алгебраической топологии и её приложениях фундаментальную роль играют так называемые "теоремы двойственности". В рамках спецкурса планируется рассказать, в том числе, о двойственности между гомологиями и когомологиями ориентируемого многообразия, компактов и их дополнений в сферах, между гладким многообразием и пространством Тома его нормального расслоения в сфере. Доказательство этих теорем использует глубокие связи алгебраической топологии с алгебраической геометрией, комбинаторной геометрией, теорией действия групп на многообразиях.
Данный курс является новым. Отличается от стандартных курсов по алгебраической топологии тем, что важные результаты топологии обсуждаются на основе различных конструкций двойственности. На первых лекциях излагаются основы теории гомологий: симплициальные, сингулярные и клеточные гомологии и когомологии, формулы универсальных коэффициентов, умножение в когомологиях. Эта часть стандартна. Затем излагаются различные подходы к двойственностям Пуанкаре и Александера - комбинаторный (через триангуляции), дифференциально-топологический и алгебро-топологический. В последнем подходе доказательство теоремы двойственности основывается на точной последовательности Майера-Виеториса и версии двойственности для некомпактных многообразий (с помощью когомологий с компактными носителями). Двойственность Лефшеца и другие обобщения двойственности Пуанкаре выводятся как следствие. Это составит программу первого семестра.
Во втором семестре будут рассмотрены двойственности Спеньера-Уайтхеда и Экманна-Хилтона. Двойственность Экманна-Хилтона лежит в основе теории модельных категорий, т.е. категорий, в которых, как и для топологических пространств, можно развивать теорию гомотопий. Будут рассмотрены примеры - дифференциальные градуированные алгебры, топологические моноиды. Теория модельных категорий и лежащая в её основе двойственность Экмана-Хилтона - важное направление современной алгебраической топологии.
В конце курса будут рассмотрены версии двойственностей для эквивариантных когомологий относительно действий конечных и компактных групп и, в частности, торов. Это является важным аспектом торической геометрии и торической топологии - других активных современных областей исследования на стыке топологии, комбинаторики и алгебраической геометрии.
План курса:
