«Минимальные подмногообразия и гармонические отображения»
Описание курса:
Курс посвящен геометрии минимальных многообразий и гармонических отображений. Оба объекта являются совершенно классическими объектами изучения в дифференциальной геометрии, но весьма непростыми, поэтому многие вопросы являются открытыми и актуальными до сих пор. Цели и задачи курса - донести до слушателей основные базовые сведения про геометрию минимальных многообразий и гармонических отображений, а также связи с другими областями математики (комплексная геометрия, спектральная геометрия, геометрический анализ), дать представление об актуальных открытых задачах, рассказать о применимых методах.
Необходимость такого курса объясняется тем, что в настоящее время нет ни современных учебников или монографий на русском языке по данному вопросу, ни современных курсов на механико-математическом факультете МГУ, в то время как данная область не только остаётся актуальной, но и недавние продвижения в ней были довольно впечатляющими, и позволили решить некоторые давно стоящие проблемы.
Как минимальные подмногообразие, так и гармонические отображения, являются решениями довольно сложных дифференциальных уравнений с частными производными, которые невозможно решить общими методами, для этого необходимо развитие их теории. В то же время, минимальные подмногообразия и гармонические отображения возникают при решении топологических проблем, изучении многообразий неотрицательной и отрицательной кривизны, изучении деформаций структур, классификации структур.
План курса:
Лекция 1
Функционал объёма. Первая вариация функционала объёма. Минимальные подмногообразия.
Лекция 2
Свойства минимальных подмногообразий.
Лекция 3
Вторая вариация функционала объёма, оператор Якоби, якобиевы поля.
Лекция 4
Индекс, стабильность для минимальных подмногообразий.
Лекция 5
Функционал энергии. Первая вариация функционала энергии. Гармонические отображения.
Лекция 6
Свойства гармонических отображений.
Лекция 7
"Внешнее" описание гармонических отображений в подмногообразия. Гармонические отображения в сферы, проективное пространство, грассманианы.
Лекция 8
Гармонические отображения в сферу и их поднятия, приложения комплексной геометрии.
Лекция 9
Вторая вариация функционала энергии, оператор Якоби, якобиевы поля.
Лекция 10
Индекс, стабильность для гармонических отображений.
Лекция 11
Связь минимальности, гармоничности, конформности.
Лекция 12
Минимальные поверхности. Конформный параметр. Представления типа Вейерштрасса.
Лекция 13
Гармонические отображения поверхностей. Гауссово и обобщенное гауссово отображение. Поверхности постоянной средней кривизны. Гармоничность и голоморфность.
Лекция 14
Связь с оператором Лапласа и спектральной геометрией-I
Лекция 15
Связь с оператором Лапласа и спектральной геометрией-II
Лекция 16
Формулы типа Бохнера и их приложения
Лекция 17
Эквивариантные гармонические отображения
