Попов Антон Юрьевич
«Асимптотические методы в теории рядов Фурье»
Описание курса:
Спецкурс «Асимптотические методы в теории рядов Фурье» посвящен вопросам асимптотического поведения сумм тригонометрических рядов и их остатков. Данный раздел теории функций является классикой, имеет богатую историю и продолжает активно развиваться в настоящее время. Значительная часть асимптотических оценок получена на качественном уровне классиками теории функций: Фейером, Лебегом, Харди, Рогозинским, Салемом, Колмогоровым, Стечкиным, Зигмундом, Бернштейном. В то же время многие результаты до сих пор не исследованы с количественной точки зрения: не во всех задачах получены точные константы, не известны асимптотические разложения на большую глубину. А ведь в наш компьютерный век именно количественные вопросы выходят на первый план. В связи с этим современное направление исследований в асимптотической теории рядов Фурье связано именно с количественными результатами.
Основная задача курса — приобщить студентов старших курсов и аспирантов к новому витку классической науки, вовлечь их в исследования, позволяющие придать классическим результатам законченный вид.
К тому же, получение точных асимптотических оценок в теории рядов Фурье требует глубоких знаний не только теории функций действительной переменной, но и комплексного и функционального анализа, виртуозного владения техникой. Мы рассчитываем, что по итогам спецкурса слушатели существенно расширят свой математический кругозор, получат необходимые технические навыки в исследовании асимптотического поведения, которые будут полезны в различных областях математики и механики.
Курс состоит из двух разделов. В первом разделе будут выведены асимптотически неулучшаемые оценки коэффициентов Фурье на различных компактах в пространствах интегрируемых, непрерывных, гладких и аналитических функций. Будет уделено внимание скорости сходимости рядов из модулей коэффициентов Фурье в классах и их обобщениях. Такие оценки были получены С.Н. Бернштейном.
Во втором разделе изучается скорость сходимости ряда Фурье к своей функции на основании теорем Лебега, Фавара, Корнейчука. Снова будет уделено внимание асимптотически неулучшаемым оценкам. В частности, будет выведено асимптотическое разложение последовательности, называемой последовательностью констант Лебега.
План курса:
Курс состоит из следующих разделов:
I. Оценки скорости стремления к нулю последовательности коэффициентов Фурье, равномерные на компактах в различных функциональных пространствах, состоящих из функций той или иной гладкости, а также в пространствах аналитических функций. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье.
II. Оценки скорости сходимости ряда Фурье, равномерные на компактах в различных функциональных пространствах.
В разделах будут рассмотрены следующие темы:
IA. Оценка коэффициентов Фурье через интегральный модуль непрерывности функции.
IБ. Оценка коэффициентов Фурье через вариацию функции и ее производных. Асимптотика коэффициентов Фурье гладкой функции с одной точкой разрыва на периоде.
IB. Оценка коэффициентов Фурье через модули гладкости функции и ее производных.
IГ. Оценка коэффициентов Фурье -периодической функции, голоморфной в полосе, содержащей действительную ось. Коэффициенты Фурье целых периодических функций.
IД. Оценки суммы модулей коэффициентов Фурье. Достаточные условия абсолютной сходимости ряда Фурье в терминах модуля непрерывности. Достаточные условия сходимости ряда Фурье при дополнительном предположении ограниченности вариации функции, а также при более сильном предположении абсолютной непрерывности функции.
IIА. Константы Лебега (интегралы от модуля ядер Дирихле), их асимптотика и двусторонние оценки. Интеграл от модуля сопряженного ядра Дирихле.
IIБ. Теорема Фавара о неулучшаемой оценке наилучших приближений тригонометрическими полиномами периодических функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка 1. Обобщение этого результата Корнейчуком на произвольный модуль непрерывности. Неулучшаемая на классах оценка скорости сходимости ряда Фурье. Пример функции из с расходящимся рядом Фурье в случае, когда не стремится к нулю.
