Попов Антон Юрьевич
«Скорость сходимости рядов Фурье и оценки сумм специальных тригонометрических рядов»
Описание курса:
Спецкурс посвящен вопросам асимптотического поведения сумм тригонометрических рядов и их остатков. Данный раздел теории функций является классикой, имеет богатую историю и продолжает активно развиваться в настоящее время. Значительная часть асимптотических оценок получена на качественном уровне классиками теории функций: Фейером, Лебегом, Харди, Рогозинским, Салемом, Колмогоровым, Стечкиным, Зигмундом, Бернштейном. В то же время многие результаты до сих пор не исследованы с количественной точки зрения: не во всех задачах получены точные константы, не известны асимптотические разложения на большую глубину. А ведь в наш компьютерный век именно количественные вопросы выходят на первый план. В связи с этим современное направление исследований в асимптотической теории рядов Фурье связано именно с количественными результатами.
Основная задача курса - приобщить студентов старших курсов и аспирантов к новому витку классической науки, вовлечь их в исследования, позволяющие придать классическим результатам законченный вид. К тому же, получение точных асимптотических оценок в теории рядов Фурье требует глубоких знаний не только теории функций действительной переменной, но и комплексного и функционального анализа, виртуозного владения техникой. Мы рассчитываем, что по итогам изучения спецкурса слушатели существенно расширят свой математический кругозор, получат необходимые технические навыки в исследовании асимптотического поведения, которые будут полезны в различных областях математики и механики.
Предлагаемый курс задуман как продолжение спецкурса «Асимптотические методы в теории рядов Фурье», прочитанного в весеннем семестре 2019/2020 учебного года.
План курса:
Продолжение курса будет состоять из двух разделов:
I. ''Абсолютная сходимость рядов Фурье''.
II. ''Асимптотическое поведение и двусторонние оценки сумм рядов по синусам и косинусам с монотонными и квазимонотонными коэффициентами''.
В первом разделе планируется рассмотреть вопросы абсолютной сходимости рядов Фурье для функций из классов H_w и их обобщений. Будет рассказано об исследованиях С.Н. Бернштейна, А. Зигмунда и С.Б. Стечкина по этой тематике. Отдельно будет дана оценка скорости сходимости модуля коэффициентов Фурье липшицевых функций и абсолютно непрерывных 2π-периодических функций, производная которых имеет ограниченную вариацию.
Во втором разделе будут изложены классические результаты в теории тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, полученные Харди, Рогозинским, Янгом, Салемом.
Затем будет рассмотрено современное состояние этой области, рассказано об исследованиях Теляковского, а также авторов курса. В завершении будут предложены нерешенные в настоящий момент задачи.
В разделах будут рассмотрены следующие темы:
IА. Явная оценка остатка ряда из модулей коэффициентов Фурье функций, удовлетворяющих условию Липшица и абсолютно непрерывных 2π-периодических функций, производная которых имеет ограниченную вариацию. Пример абсолютно непрерывной 2π-периодической функции, ряд Фурье которой не сходится абсолютно.
IБ. Достаточные условия абсолютной сходимости ряда Фурье в терминах модуля непрерывности. Усиления этих результатов при быстром стремлении к нулю интегрального модуля непрерывности, в частности для функций ограниченной вариации.
IIА. Различие между синус и косинус рядами. Критерии равномерной сходимости рядов по синусам и косинусам. Ограниченность частичных сумм ряда сумма sin nx/x. Достаточные условия суммируемости суммы ряда по косинусам. Критерий Янга суммируемости суммы ряда по синусам. Критерий принадлежности сумм рядов по синусам и косинусам пространству L^p при p>1.
IIБ. Поведения рядов по синусам и косинусам в окрестности точки x=0. Оценки Салема сумм рядов по синусам и косинусам с выпуклыми коэффициентами. Асимптотические соотношения Харди и Рогозинского для сумм рядов по синусам и косинусам с правильно меняющимися коэффициентами. Асимптотические соотношения Алянчича, Боянича и Томича для сумм рядов по синусам и косинусам с выпуклыми медленно меняющимися коэффициентами. Двусторонние оценки Теляковского сумм рядов по синусам с выпуклыми коэффициентами. Уточнение оценок Теляковского. Уточнение оценок Алянчича, Боянича, Томича.
IIВ. Ряды по синусам и косинусам с квазимонотонными коэффициентами. Сходимость рядов по синусам с квазимонотонными коэффициентами. Обобщение критерия Янга суммируемости суммы ряда по синусам с квазимонотонными коэффициентами. Критерии положительности и ограниченности отрицательной части суммы ряда по синусам с квазимонотонными коэффициентами. Условия суммируемости отрицательной части суммы ряда по синусам с квазимонотонными коэффициентами.
