Розанова Ольга Сергеевна
«Нелинейные законы сохранения: методы и приложения»
Описание курса:
Спецкурс направлен на то, чтобы познакомить слушателей с одним из интенсивно развивающихся сегодня разделов теории уравнений с частными производными - нелинейными законами сохранения. Уравнения, описывающие законы сохранения и связанные с ними, являются основным инструментом моделирования различных процессов физики, биологии, экономики, и т.д., где важным является описание явлений нелинейного переноса. Основы теории законов сохранения были заложены в середине 20 века и были мотивированы изучением процессов распространения ударных волн в воздухе. В 50-70 годы в работах И.М.Гельфанда, П.Д.Лакса, А.Майды, О.А.Олейник, С.Н.Кружкова (очень неполный перечень) были получены классические в этой области результаты, в дальнейшем продолженные в различных направлениях. Вместе с тем, существует большое количество нерешенных задач, которые могут быть сформулированы даже на элементарном уровне.
В спецкурсе рассматриваются в первую очередь, квазилинейные уравнения и системы законов сохранения первого порядка и связанные с ними уравнения и системы. Обсуждается, в частности, возможность построения точных решений, вопросы о возникновении особенностей гладких решений, типы этих особенностей, методы доказательства отсутствия гладких решений, проблемы построения обобщенных решений и возможности их регуляризации. Кроме того, рассматриваются уравнения более высоких порядков, связанные с законами сохранения добавлением специальных членов, и обсуждаются свойства, которые при этом возникают: возможность существования бегущих волн, солитонные решения, явление локализации.
Спецкурс является дополнительным к основному курсу уравнений в частных производных, где обсуждается в основном классическая теория линейных уравнений математической физики. Он призван познакомить с наиболее яркими явлениями теории нелинейных уравнений и современными методами их исследования.
План курса:
1.Уравнения первого порядка. Законы сохранения. Характеристики и их роль. Характеристическая система уравнений. Формирование особенностей гладкого решения квазилинейного уравнения. Модельные примеры.
2. Обобщенное решение. Условия Рэнкина-Гюгонио. Проблема единственности обобщенного решения. Условие допустимости разрыва.
3. Метод исчезающей вязкости для квазилинейного уравнения. Уравнение Бюргерса и его решение. Задача Коши в классе допустимых решений. Доказательство единственности.
4. Существование допустимого решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Формула Лакса-Олейник.
5. Поведение допустимого решения задачи Коши при больших временах. Асимптотика в норме L-бесконечность. Точность оценки.
6. Асимптотика в норме L_1. Распад в N-волну.
7. Гиперболические системы законов сохранения. Истинно нелинейные и линейно вырожденные характеристические направления. Допустимость разрыва согласно Лаксу. Малые разрывы. К-волны: ударные волны, волны разрежения, контактные разрывы. Однопараметрическое семейство К- волн.
8. Теорема о существовании допустимого решения задачи Римана для строго гиперболической системы уравнений.
9. Энтропийные критерии допустимости. Энтропийная пара. Построение энтропии для одного уравнения и системы двух уравнений. Симметрические гиперболические системы и энтропия.
10. Примеры гиперболических систем в строгом и нестрогом смысле. Система уравнений газовой динамики. Система уравнений газовой динамики без давления.
11. Сильно сингулярное обобщенное решение на примере уравнений газовой динамики без давления.
12. Инварианты Римана. Симметрическая форма гиперболической системы. Система уравнений газовой динамики в инвариантах. Метод годографа.
13. Различные способы регуляризации невязкого уравнения Бюргерса – добавление вязких и дисперсионных членов. Автомодельное решение. Соотношение между порядками малости вязкости и дисперсии.
14. Метод стохастической регуляризации и его связь с вязкостной регуляризацией.
15. Уравнение Кортевега-де Вриза. Решение в виде уединенной волны. Солитоны.
16. Нелинейная вязкость. Конечная и бесконечная скорость распространения возмущений, гладкость решения в точках фронта. Явление локализации.
17. Нелинейное уравнение Шредингера и его гидродинамическая интерпретация. Понятие о критической нелинейности. Метод моментов и исследование образования особенностей решения.
18. Метод моментов для уравнений газовой динамики и Навье-Стокса. Решения с однородной деформацией. Теоремы о несуществовании гладких решений.
