Розанова Ольга Сергеевна
«Нелинейные законы сохранения»
Описание курса:
Спецкурс является обновлением традиционно читаемого автором спецкурса по выбору студента, также курса ЕНС. Он направлен на то, чтобы познакомить слушателей с одним из интенсивно развивающихся сегодня разделов теории уравнений с частными производными - нелинейными законами сохранения. Уравнения, описывающие законы сохранения и связанные с ними, являются основным инструментом моделирования различных процессов физики, биологии, экономики, и т.д., где важным является описание явлений нелинейного переноса. Основы теории законов сохранения были заложены в середине 20 века и были мотивированы изучением процессов распространения ударных волн в воздухе. В спецкурсе рассматриваются в первую очередь квазилинейные уравнения и системы законов сохранения первого порядка и связанные с ними уравнения и системы. Обсуждается, в частности, возможность построения точных решений, вопросы о возникновении особенностей гладких решений, типы этих особенностей, методы доказательства отсутствия гладких решений, проблемы построения обобщенных решений и возможности их регуляризации. Кроме того, рассматриваются уравнения более высоких порядков, связанные с законами сохранения добавлением специальных членов, и обсуждаются свойства, которые при этом возникают: возможность существования бегущих волн, солитонные решения, явление локализации. В текущей редакции курса планируется сделать особенный акцент на применении законов сохранения при изучении уравнений так называемой холодной плазмы. Это очень трудный раздел уравнений, интерес к которому в последнее время вызван возможностью создания специального типа ускорителей на кильватерной волне. В недавнее время автором курса вместе с соавторами получены новые результаты в данной области. Спецкурс является дополнительным к основному курсу уравнений в частных производных, где обсуждается в основном классическая теория линейных уравнений математической физики. Он призван познакомить с наиболее яркими явлениями теории нелинейных уравнений и современными методами их исследования. Курс необходим для специалистов, намеревающихся использовать уравнения в частных производных для решения актуальных задач.
План курса:
Лекция 1
Уравнения первого порядка. Законы сохранения. Характеристики и их роль. Характеристическая система уравнений. Формирование особенностей гладкого решения квазилинейного уравнения. Модельные примеры.
Лекция 2
Обобщенное решение. Условия Рэнкина-Гюгонио. Проблема единственности обобщенного решения. Условие допустимости разрыва.
Лекция 3
Метод исчезающей вязкости для квазилинейного уравнения. Уравнение Бюргерса и его решение. Задача Коши в классе допустимых решений. Доказательство единственности.
Лекция 4
Существование допустимого решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Формула Лакса-Олейник.
Лекция 5
Поведение допустимого решения задачи Коши при больших временах. Асимптотика в норме L-бесконечность. Точность оценки.
Лекция 6
Асимптотика в норме L_1. Распад в N-волну.
Лекция 7
Гиперболические системы законов сохранения. Истинно нелинейные и линейно вырожденные характеристические направления. Допустимость разрыва согласно Лаксу. Малые разрывы. К-волны: ударные волны, волны разрежения, контактные разрывы. Однопараметрическое семейство К- волн.
Лекция 8
Теорема о существовании допустимого решения задачи Римана для строго гиперболической системы уравнений.
Лекция 9
Энтропийные критерии допустимости. Энтропийная пара. Построение энтропии для одного уравнения и системы двух уравнений. Симметрические гиперболические системы и энтропия.
Лекция 10
Примеры гиперболических систем в строгом и нестрогом смысле. Система уравнений газовой динамики. Система уравнений газовой динамики без давления.
Лекция 11
Сильно сингулярное обобщенное решение на примере уравнений газовой динамики без давления.
Лекция 12
Инварианты Римана. Симметрическая форма гиперболической системы. Система уравнений газовой динамики в инвариантах. Метод годографа.
Лекция 13
Различные способы регуляризации невязкого уравнения Бюргерса – добавление вязких и дисперсионных членов. Автомодельное решение. Соотношение между порядками малости вязкости и дисперсии. Уравнение Кортевега-де Вриза. Решение в виде уединенной волны. Солитоны.
Лекция 14
Метод стохастической регуляризации и его связь с вязкостной регуляризацией. Нелинейная вязкость. Конечная и бесконечная скорость распространения возмущений, гладкость решения в точках фронта. Явление локализации.
Лекция 15
Уравнения холодной плазмы. Методы получения критериев образования особенностей. Использование леммы Радона.
Лекция 16
Регуляризирующие факторы для уравнений холодной плазмы и их физический смысл. Трение между частицами и внешнее магнитное поле. Исследование возможности погасить колебания.
Лекция 17
Задача Римана для уравнений холодной плазмы.
Лекция 18
Метод моментов и исследование образования особенностей решения. Приложения к уравнениям газовой динамики и Навье-Стокса. Решения с однородной деформацией. Теоремы о несуществовании гладких решений.
