«Введение в группы классов отображений»
Описание курса:
Основным объектом, с которым мы будем работать в данном курсе, является замкнутая ориентируемая поверхность, то есть попросту сфера с ручками — то, с чего обычно начинают изучение топологии. Оказывается, несмотря на наглядность и простоту, на примере поверхностей можно изучить массу полезных приёмов и содержательных теорем из алгебраической и дифференциальной топологии. Группа классов отображений Mod(S) поверхности S получается, если рассмотреть множество гомеоморфизмов S → S с точностью до изотопии. Инварианты этой группы, а также некоторых её подгрупп — активно развивающаяся область современной геометрической топологии. Мы начнём с базовых свойств поверхностей, и затем обсудим разные способы описать группу классов отображений (например, в терминах действия на комплексе кривых). Для понимания курса требуются минимальные знания алгебраической топологии — достаточно знакомства с понятием фундаментальной группы. В целом курс следует первой части учебника [Farb, Margalit], с небольшими добавлениями из книги [Прасолов, Сосинский] и записок лекций [Lurie]. Он действительно вводный и будет интересен тем, кому нравится топология (на уровне непонятных картинок, гомотопий и всякого такого), но кто пока знает про группы классов отображений не очень много. Формат курса планируется близким к семинару, это будет не только рассказ у доски, но и обсуждения с аудиторией.
План курса:
Лекция 1
Классификация поверхностей. Гомеоморфизмы. Гомотопии. Теоремы Жордана и Шёнфлиса.
Лекция 2
Фундаментальная группа. Гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные непрерывными отображениями.
Лекция 3
Группы классов отображений. Примеры (диск, кольцо, тор, тор с проколом).
Лекция 4
Накрытия. Универсальное накрытие и фундаментальная группа. Плоскость Лобачевского.
Лекция 5
Движения плоскости Лобачевского. Поднятия кривых, геодезические.
Лекция 6
Простые замкнутые кривые. Минимальное положение, критерий двуугольника.
Лекция 7
Изотопии простых замкнутых кривых. Принцип замены координат.
Лекция 8
Заполняющие кривые. Принцип Александера.
Лекция 9
Скручивания Дена. Соотношение кос. Действие на числах пересечений. Центр Mod(S).
Лекция 10
Гомоморфизмы включения и заклеивания для групп классов отображений.
Лекция 11
Гомоморфизм разрезания. Точная последовательность Бирман.
Лекция 12
Порождение скручиваниями Дена.
Лекция 13
Действие на комплексе неразделяющих кривых. Конечная порождённость.
Лекция 14
Стягиваемость комплекса дуг. Конечная представимость. Образующие и соотношения.
Лекция 15
Доказательство теоремы Дена-Нильсена.
