«Кусочно-линейные многообразия и маломерная топология»
Описание курса:
В этом курсе мы будем двигаться в сторону Hauptvermutung — известной гипотезы, что любое топологическое многообразие триангулируемо, а любой гомеоморфизм PL-многообразий изотопен кусочно-линейному. Эта гипотеза верна в размерности ≤ 3, но неверна в общем случае. Первая часть курса посвящена общему обзору теории многообразий, а также методам работы с кусочно линейными многообразиями. Во второй части курса мы докажем Hauptvermutung в размерности 2 и сопутствующие утверждения о поверхностях. В заключительной части курса речь пойдёт про трёхмерную топологию, мы разберём несколько классических фактов о 3-многообразиях и обсудим теорему о триангулируемости.
План курса:
Лекция 1.
Топологические многообразия. Атласы, гладкие многообразия. Примеры многообразий.
Лекция 2.
Подмногообразия. Примеры диких вложений (дикие узлы, ожерелье Антуана, рогатая сфера Александера).
Лекция 3.
Полиэдры в евклидовом пространстве, триангуляции, измельчения.
Лекции 4.
Кусочно-линейные отображения, локальный критерий невырожденности. PL-многообразия.
Лекция 5.
Теорема о триангулируемости гладких многообразий.
Лекция 6.
Некомбинаторные триангуляции. Гомологические сферы, теорема Эдвардса о двойной надстройке (без доказательства).
Лекции 7-8.
Теорема Жордана.
Лекция 9.
Теорема о кусочно-линейной аппроксимации гомеоморфизма поверхностей. Триангулируемость топологических 2-многообразий.
Лекция 10.
Теорема Шёнфлиса.
Лекция 11.
Трёхмерные многообразия. Линзы. Разбиение Хегора.
Лекция 12.
Лемма Дена, теоремы Папакирьякопулоса о петле и о сфере.
Лекция 13.
Кусочно линейная аппроксимация в трёхмерном пространстве.
Лекция 14.
Теорема о триангулируемости трёхмерных многообразий.
Лекция 15.
Построение препятствия к триангулируемости — инвариант Кирби-Зибенманна (обзор).
