Сабитов Иджад Хакович
«Анализ и алгебра в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и многогранников»
Описание курса:
Курс относится к области геометрии, которую раньше называли геометрией "в целом", теперь чаще называют метрической геометрией. Основная тема исследований в этой области - установление свойств внутренней геометрии римановых пространств с данной метрикой; далее - возможность изометрической реализации этой метрики как метрики некоторой поверхности (это называется проблема изометрического погружения данной метрики в R^n); далее - вопросы о единственности изометрического погружения. Вот эта часть - единственность или неединственность изометрической реализации метрики - и составляет предмет теории изгибаний и бесконечно малых изгибаний. Можно сказать, что теория бесконечно малых изгибаний составляет линейную часть теории изгибаний, которую Н.В. Ефимов называл "дифференциалом деформации изгибаний. Эта теория интенсивно развивалась сначала работах немецких геометров (Либман, Бляшке, Ден, Рембс, Кон-Фоссен и др.), затем с 40-х годов 20 века большинство результатов были получены советскими геометрами. В настоящее время, кроме российских, в этой области активно работают ряд математиков в США, Австрии, Франции, Болгарии, Бразилии,). По нашему мнению, основной интерес исследований б.м. изгибаний заключается в том, что установление жесткости 1-го или 2-го порядка для некоторого класса поверхностей сразу дает справедливость для них гипотезы Эйлера о неизгибаемости компактных поверхностей (гипотеза в общем виде до сих пор не доказана и не опровергнута). Я собираюсь рассказать сначала вводную часть теории б.м. изгибаний (определения, основные уравнения для различных представлений поверхностей), затем различные деформации, связанные с полями б.м. изгибаний (поверхности Дарбу), инвариантность жесткости (т.е. отсутствие б.м. изгибаний) и нежесткости относительно аффинных и проективных преобразований; затем установление жесткости выпуклых поверхностей (теорема Бляшке и ее обобщения на кусочно гладкие выпуклые поверхности в работах Векуа-Боярского), теорема Погорелова о жесткости общей выпуклой поверхности, жесткость поверхности отрицательной кривизны при закрепленных неасимптотических границах, б.м. изгибания высших порядков и жесткость высших порядков, некорректность ее классического определения. По возможности расскажу еще о б.м. изгибаниях многогранников, о доказательстве жесткости выпуклых многогранников, примеры нежестких многогранников, а также отдельно расскажу о б.м. изгибаниях поверхностей вращения, исследование которых сводится к использованию теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Остается неохваченной большая теория б.м. изгибаний поверхностей с краевыми условиями. В России этой тематикой активно занимаются в Ростове (Южный федеральный университет), и Новосибирске (СО РАН). В Москве осталась небольшая группа "геометров-изгибальщиков", и одной из целей курса является привлечение интереса молодых математиков к этой классической теме.План курса:
Лекция 1
Два определения б.м. изгибаний и их связь. Основное уравнение теории б.м. изгибаний. Тривиальные и нетривиальные б.м. изгибания. Понятия жесткости и нежесткости поверхности. Изгибаемость и жесткость.
Лекция 2
Поля начальных скоростей при движении. Их связь с тривиальностью б.м. изгибания.
Лекция 3
Поле вращения б.м. изгибания, его определение, существование и единственность. Его связь с полем м. изгибания. Необходимое и достаточное условие тривиальности б.м. изгибания через его поле вращения.
Лекция 4
Система уравнений 1-го порядка для поля вращений при общем параметрическом и явном задании поверхности. Уравнение 2-го порядка при явном задании поверхности и пример его применения для получения теоремы о жесткости некоторых классов поверхностей.
Лекция 5
Поверхности, получаемые с использованием полей деформации и вращения. Построение на их основе новых поверхностей. Поверхности Дарбу и венок Дарбу. Радиус-векторы поверхностей Дарбу.
Лекция 6
Аффинная и проективная инвариантность свойств нежесткости и жесткости поверхности.
Лекция 7
Теорема Бляшке о жесткости замкнутой выпуклой поверхности.
Лекция 8
Бесконечно малые изгибания многогранников. Определения и уравнения.
Лекция 9
Теорема о возможности закрепления одной произвольной треугольной грани многогранника за счет добавления тривиального б.м. изгибания.
Лекция 10
Случаи многогранников с 4 и 5 вершинами. Их строение и случаи нежесткости.
Лекция 11
Октаэдры. Система уравнений для б.м. изгибаний октаэдра. Примеры нежестких октаэдров.
Лекция 12
Жесткость выпуклых многогранников.
Лекция 13
Поверхности вращения. Основные связанные с ними понятия. Уравнение поверхности вращения с известным меридианом.
Лекция 14
Уравнения б.м. изгибаний поверхности вращения. Гармоники поля б.м. изгибаний. Случай полюсов с уплощениями. Уравнение Пелля.
