Шафаревич Антон Андреевич
«Дополнительные главы алгебры»
Описание курса:
Основная цель спецкурса - обсудить важные разделы алгебры, которые не поместились в основной курс на механико-математическом факультете МГУ, а также помочь аспирантам кафедры алгебры при подготовке к экзамену ВАК по специальности. В осеннем семестре будут обсуждаться свободные группы, теория Галу и коммутативная алгебра.
План курса:
Лекция 1
Свободные абелевы группы.
Лекция 2
Свободные группы. Копредставления групп.
Лекция 3
Теорема Нильсена – Шрайера.
Лекция 4
Расширения полей. Базис трансцендентности. Конечные расширения. Алгебраическое замыкание подполя.
Лекция 5
Алгебраические числа. Сепарабельные расширения. Теорема о примитивном элементе.
Лекция 6
Поле разложения многочлена. Расширения Галуа. Основная теорема теории Галуа.
Лекция 7
Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Группа Галуа кубического многочлена и формула Кардано. Конечные поля.
Лекция 8
Кольца главных идеалов, их факториальность.
Лекция 9
Теорема о строении конечнопорождённых модулей над кольцами главных идеалов, её применение к абелевым группам и линейным операторам.
Лекция 10
Нётеровы кольца и модули. Нётеровость кольца многочленов (теорема Гильберта о базисе идеала). Конечные расширения нётеровых колец.
Лекция 11
Целое замыкание подкольца. Целозамкнутые кольца. Целые алгебраические числа.
Лекция 12
Конечнопорождённые коммутативные алгебры и аффинные алгебраические многообразия. Теорема Гильберта о нулях.
Лекция 13
Топология Зарисского и неприводимые компоненты алгебраического многообразия. Поле рациональных функций и размерность неприводимого алгебраического многообразия.
Лекция 14
Линейные представления групп и ассоциативных алгебр. Неприводимые и вполне приводимые представления. Полная приводимость линейных представлений компактных (в частности, конечных) групп. Морфизмы представлений. Лемма Шура. Изотипные компоненты вполне приводимого представления. Теорема Бернсайда. Неприводимые представления прямого произведения групп.
Лекция 15
Радикал ассоциативного кольца. Нильпотентность радикала артинова кольца. Радикал коммутативного кольца. Теорема плотности для полупростых модулей. Строение полупростых артиновых колец и полупростых ассоциативных алгебр.
Лекция 16
Конечномерные ассоциативные алгебры с делением. Обобщённые алгебры кватернионов. Теоремы Фробениуса и Веддербёрна.
