«Дополнительные главы алгебры»
Описание курса:
Основная цель спецкурса - обсудить важные разделы алгебры, которые не поместились в основной курс на механико-математическом факультете МГУ, а также помочь аспирантам кафедры алгебры при подготовке к экзамену ВАК по специальности. В весеннем семестре будут обсуждаться модули, коммутативная алгебра, аффинная алгебраическая геометрия, теория представлений и групп Ли.
План курса:
Лекция 1
Циклические модули. Теорема о строении конечно порожденных модулей над кольцами главных идеалов.
Лекция 2
Нётеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе идеала.
Лекция 3
Конечные расширения нётеровых колец. Целое замыкание подкольца. Целозамкнутые кольца. Целые алгебраические числа.
Лекция 4
Конечно порождённые коммутативные алгебры и аффинные алгебраические многообразия. Теорема Гильберта о нулях.
Лекция 5
Топология Зарисского и неприводимые компоненты алгебраического многообразия. Размерность неприводимого алгебраического многообразия.
Лекция 6
Морфизмы между алгебраическими многообразиями. Рациональные функции.
Лекция 7
Проективные алгебраические многообразия. Прямое произведение проективных многообразий.
Лекция 8
Линейные представления групп и ассоциативных алгебр. Неприводимые и вполне приводимые представления. Полная приводимость линейных представлений компактных (в частности, конечных) групп.
Лекция 9
Морфизмы представлений. Лемма Шура. Изотипные компоненты вполне приводимого представления. Теорема Бернсайда. Неприводимые представления прямого произведения групп.
Лекция 10
Радикал ассоциативного кольца. Нильпотентность радикала артинова кольца. Радикал коммутативного кольца.
Лекция 11
Теорема плотности для полупростых модулей. Строение полупростых артиновых колец и полупростых ассоциативных алгебр.
Лекция 12
Конечномерные ассоциативные алгебры с делением. Обобщённые алгебры кватернионов. Теоремы Фробениуса и Веддербёрна.
Лекция 13
Групповая алгебра конечной группы, её полупростота (в нулевой характеристике). Центр групповой алгебры и характеры неприводимых представлений конечной группы. Соотношения ортогональности.
Лекция 14
Группы Ли. Классические линейные группы Ли.
Лекция 15
Присоединённое представление группы Ли. Касательные алгебры Ли. Экспоненциальное отображение.
