Шапошников Станислав Валерьевич
«Качественная теория эллиптических уравнений с частными производными»
Описание курса:
Из обширной теории эллиптических уравнений в учебный курс по уравнениям с частными производными входит лишь обсуждение уравнения Лапласа и свойств гармонических функций. Однако решения общих эллиптических уравнений устроены значительно сложнее гармонических функций, а именно общие эллиптические уравнения появляются в приложениях, например, в теории диффузионных процессов. Добавление к оператору Лапласа членов первого и нулевого порядка значительно меняет поведение решений и делает неприменимыми явные формулы и прямые методы из учебного курса.
Настоящий курс призван познакомить слушателей с идеями и методами анализа общих эллиптических уравнений с нерегулярными коэффициентами, в частности с методом итераций Ю. Мозера, принципом максимума А.Д. Александрова, теорией перенормированных решений П. Бауман. Кроме того, в курсе будет рассказано о вероятностном представлении решений эллиптических уравнений и будут представлены некоторые результаты о решениях уравнений с вырождающейся главной частью. В последние годы активно исследуются дважды дивергентные эллиптические уравнения, которые значительно отличаются от классических типов эллиптических уравнений. В курсе будут представлены некоторые из последних результатов о регулярности решений дважды дивергентных уравнений. Таким образом, настоящий курс значительно дополняет содержание учебного курса уравнений с частными производными, знакомит слушателей с современной теорией эллиптических уравнений, привлекает представляющие самостоятельный интерес методы анализа, геометрии и теории вероятностей.
Эллиптические уравнения с частными производными являются красивым и востребованным разделом математики. Методы и результаты теории эллиптических уравнений используются в математической физике, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, оптимальном управлении, теории усреднения. Особый интерес представляют уравнения с негладкими и вырожденными коэффициентами, появляющиеся в теории диффузионных процессов и в нелинейном анализе. В настоящем курсе мы уделяем особое внимание не теории существования и единственности решений, а описанию качественных свойств решений, включающих в себя разнообразные формы принципа максимума, неравенство Харнака, теоремы Лиувилля, оценки модуля непрерывности и оценки производных.
Кроме того, будет сделано необходимое введение в теорию пространств Соболева и рассказано о вероятностных представлениях решений эллиптических уравнений. В последние годы активно исследуются дважды дивергентные эллиптические уравнения, частным случаем которых являются стационарные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. В настоящем курсе будут представлены некоторые недавние результаты о регулярности решений дважды дивергентных уравнений и сформулированы открытые проблемы, исследование которых представляет значительный интерес. Курс основан на недавних работах В.И. Богачева, М. Рёкнера, Н.В. Крылова и замечательных монографиях Л. Эванса, Н.В. Крылова, Д. Гилбарга, Н. Трудингера, В.А. Кондратьева и Е.М. Ландиса.
План курса:
