Шапошникова Татьяна Ардолионовна
«Усреднение нелинейных задач математической физики»
Описание курса:
Целью настоящего курса является введение в современную теорию усреднения нелинейных уравнений математической физики. В курсе будут представлены основные методы исследования нелинейных задач, в частности будут рассказаны методы монотонности и компактности, разнообразные априорные оценки. Основная часть курса посвящена теории усреднения, которая активно применяется при построении и изучении моделей, описывающих свойства современных материалов, например нано-композитов, а также при изучении нелинейных процессов в сильно неоднородных средах. Трудность исследования такого рода проблем связана с невозможностью их решения с помощью аналитических и численных методов. Если же масштаб микроструктуры намного меньше характерного масштаба изучаемого процесса, то можно получить его усредненное описание. Математическая теория усреднения состоит в применении асимптотических методов для построения эффективных моделей и их обосновании. Существенно используются разнообразные методы уравнений с частными производными, функционального анализа, вариационного исчисления, оптимального управления и теории вероятностей. Особую трудность представляет изучение вопросов усреднения нелинейных краевых задач в перфорированных областях при условии, что параметры задач принимают, так называемые, критические значения, при которых в эффективных моделях появляются >, характеризующие качественно новые свойства решений. В курсе будут изложены математические методы исследования нелинейных процессов в сильно неоднородных средах на критической шкале значений параметров задачи. В курс будут включены самые последние достижения в данной области, в частности результаты из известной монографии > I.J. Diaz, D. Gomez Castro, T.A.Shaposhnikova, вышедшей в издательстве De Gruyter в 2021. 17.Новизна Курса: Теория усреднения является активно развивающимся и крайне популярным направлением математики.
План курса:
Лекция 1
Описание областей: перфорированных по объему, перфорированных вдоль многообразий, с включениями на границе. Постановки задач, вариационные постановки: нелинейные краевые условия Робина, нелинейные динамические краевые условия.
Лекция 2
Метод монотонности.
Лекция 3
Различные техники усреднения.
Лекция 4
Возникновение критической шкалы значений параметров задачи.
Лекция 5
Существование, единственность поставленных задач. Равномерные по параметрам оценки решений задач.
Лекция 6
Оператор продолжения.
Лекция 7
Некоторые важные вспомогательные неравенства и сходимости. 10. Построение специального вида быстро осциллирующих тестовых функций.
Лекция 8
Вариационные неравенства и переход в них к пределу.
Лекция 9
Получение эффективных моделей и обсуждение их: вопросы существования и единственности решения.
