«Форсинг и его применение в топологии»
Описание курса:
Курс посвящен методу форсинга, или вынуждения. Без этого метода в современной математике совершенно невозможно обойтись, поскольку многие фундаментальные проблемы (такие как первая проблема Гильберта о континуум-гипотезе, проблема Суслина о топологической характеризации пространства вещественных чисел, проблема Уайтхеда о свободных группах и многие другие) долгое время оставались нерешенными именно потому, что они в принципе не могут быть решены в рамках аксиом ZFC теории множеств, лежащих в фундаменте всей современной математики. Метод форсинга был изобретен для решения проблемы истинности континуум-гипотезы (о (не)существовании несчетного множества, мощность которого строго меньше мощности вещественной прямой), однако впоследствии выяснилось, что это универсальный метод построения моделей теории множеств, в которых верны те или иные утверждения, многие из которых будут обсуждаться на спецкурсе. В курсе метод будет изложен «с нуля», но со строгим обоснованием. В качестве несложной иллюстрации будет полностью со всей строгостью доказана недоказуемость и неопровержимость континуум-гипотезы, после чего будут доказаны общие теоремы о границах применимости метода и приведены дальнейшие примеры его применения. Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, включая те, решением которых занимается автор в настоящее время. Никаких предварительных знаний не требуется.
План курса:
Лекция 1
Аксиомы ZFC.
Лекция 2
Ординалы и кардиналы. Упорядоченные множества.
Лекция 3
Теорема Цермело. Трансфинитная индукция. Универсум фон Неймана.
Лекция 4
Лемма Цорна. Примеры применения. Теорема Тихонова. Примеры применения.
Лекция 5
Модели. Абсолютные и релятивизованные формулы. Теоремы Гёделя о полноте и неполноте. Теорема Лёвенгейма-Скулема о существовании счетной модели. Конструктивный универсум Гёделя.
Лекция 6
Генерические множества. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций.
Лекция 7
Основные положения форсинга: теорема об определимости и теорема о минимальности.
Лекция 8
Доказательство совместимости континуум-гипотезы и ее отрицания с ZFC методом форсинга.
Лекция 9
Доказательство основных положений форсинга.
Лекция 10
Гипотеза Суслина о существовании линейно упорядоченного несепарабельного топологического пространства со свойством Суслина. Дерево Суслина.
Лекция 11
Принцип Йенсена и его следствия. Доказательство совместимости существования и несуществования дерева (и прямой) Суслина с ZFC.
Лекция 12
Несохранение свойства Суслина произведениями топологических пространств в предположении выполнения принципа Йенсена.
Лекция 13
Аксиома Мартина. Следствия аксиомы Мартина: полнота, усиления теоремы Бэра, взаимодействие свойств типа нормальности и компактности.
Лекция 14
Сохранение свойства Суслина произведениями в предположении аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы. Существование несчетных лузинских множеств и несчетных множеств внешней меры нуль.
Лекция 15
Комбинаторные следствия аксиомы Мартина. Существование рамсеевских ультрафильтров и связанные с ними нерешенные проблемы топологической алгебры.
Лекция 16
Итерированный форсинг. Теорема Истона.
