Смирнов Сергей Валерьевич
«Дополнительные главы геометрии»
Описание курса:
Курс посвящен обсуждению некоторых важных и красивых геометрических сюжетов, которые не попадают в программу основных мехматских обязательных курсов аналитической геометрии и линейной алгебры. В первой части курса будут изложены некоторые вопросы проективной геометрии (в вещественном и в комплексном случаях), будут рассказаны некоторые алгебро-геометрические идеи (сложение на кубиках, приведение кубической кривой к нормальной форме Вейерштрасса, основы перечислительной геометрии). Во второй части курса мы обсудим различные модели сферической геометрии и геометрии Лобачевского, соответствующие группы движений. Затем мы рассмотрим некоторые вопросы, на которые не хватает времени в курсе линейной алгебры: нормальная форма Фробениуса линейного оператора, плюккеровы координаты подпространства и теорема Минковского-Вейля о выпуклых многогранниках.План курса:
Лекция 1
Вещественные и комплексные аффинные преобразования, соответствующие группы. Аффинные преобразования плоскости, как взаимно-однозначные преобразования, переводящие прямую в прямую. Изометрические преобразования, теорема о структуре изометрического преобразования.
Лекция 2
Вещественные и комплексные проективные пространства, однородные координаты. Проективные преобразования. Метрическая, аффинная и проективная классификация квадрик (вещественный и комплексный случай).
Лекция 3
Вещественная проективная прямая, двойное отношение четырех точек. Проективные преобразования и проектирования.
Лекция 4
Комплексная проективная прямая. Свойства дробно-линейных отображений. Комплексный язык в геометрии.
Лекция 5
Поляритет на проективной плоскости. Проективная двойственность, двойственная квадрика.
Лекция 6
Классические проективные теоремы на вещественной проективной плоскости (теоремы Паппа, Паскаля, Брианшона).
Лекция 7
Кубические кривые, приводимость, особые точки. Пересечение кубики и прямой. Кубики на проективной плоскости. Комплексные проективные кубики. Гессиан, точки перегиба.
Лекция 8
Приведение неособой кубики к нормальной форме Вейерштрасса.
Лекция 9
Сложение на кониках, вещественный и комплексный случай.
Лекция 10
Групповой закон на кубике.
Лекция 11
Топология эллиптических и гиперэллиптических кривых.
Лекция 12
Некоторые вопросы перечислительной геометрии: сколько существует квадрик, проходящих через заданные точки и касающиеся заданных прямых?
Лекция 13
Кватернионы, параметризация Кэли-Клейна и углы Эйлера.
Лекция 14
Сферическая геометрия: группа движений, прямые, окружности, сферическая тригонометрия.
Лекция 15
Стереографическая проекция, конформность. Сферическая геометрия на плоскости. Группа движений.
Лекция 16
Геометрия на псевдосфере мнимого радиуса. Группа движений.
Лекция 17
Стереографическая проекция псевдосферы. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского в единичном круге и в верхней полуплоскости. Группы движений.
Лекция 18
Метрические соотношения в геометрии Лобачевского: теоремы синусов и косинусов, формулы для длины окружности и площади круга. Неизометричность евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
Лекция 19
Модель Клейна геометрии Лобачевского. Связь с моделью Пуанкаре.
Лекция 20
Три типа собственных движений геометрии Лобачевского.
Лекция 21
Замощение треугольниками сферы и плоскости Лобачевского. Модулярная группа, ее фундаментальная область.
Лекция 22
Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике на плоскости Лобачевского.
Лекция 23
Пространство Лобачевского.
Лекция 24
Выпуклые множества в аффинном пространстве, выпуклые многогранники.
Лекция 25
Теорема Минковского Вейля о выпуклых многогранниках.
Лекция 26
Плюккеровы координаты подпространства, грассманиан. Вложение грассманиана в проективное пространство. Соотношения Плюккера.
Лекция 27
Пфаффиан и его свойства.
Лекция 28
Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.
