Смирнов Сергей Валерьевич
«Дополнительные главы геометрии»
Описание курса:
Курс посвящен обсуждению некоторых актуальных и красивых геометрических сюжетов, которые не попадают в программу основных мехматских обязательных курсов аналитической геометрии и линейной алгебры. Мы обсудим различные модели сферической геометрии и геометрии Лобачевского, соответствующие группы движений. Затем мы рассмотрим некоторые вопросы, на которые не хватает времени в курсе линейной алгебры: нормальная форма Фробениуса линейного оператора, плюккеровы координаты подпространства и теорема Минковского-Вейля о выпуклых многогранниках.
В стандартном мехматском курсе аналитической геометрии изучаются метрическая, аффинная и проективная геометрии в двумерном и трехмерном пространствах, соответствующие группы преобразований, и классифицируются алгебраические кривые (поверхности) второго порядка в этих геометриях. Однако, в стороне остаются комплексный случай и обсуждение вопроса возможности классификации алгебраических кривых более высокого порядка в различных геометриях. Мы хотим довести до конца эту идеологию и, пользуясь идеями эрлангенской программы Клейна, изучить другие геометрии (сферическая геометрия, геометрия Лобачевского) и их группы движений. С другой стороны, в прекрасном курсе линейной алгебры не хватает времени на рассмотрение проективных пространств и на исследование некоторых вопросов аффинной геометрии (в частности, важных для приложений). Данным курсом мы надеемся также устранить и этот пробел, рассмотрев вещественные грассманианы, отображение Плюккера и доказав теорему Минковского-Вейля о выпуклом многограннике в аффинном пространстве, как выпуклой оболочке конечного числа точек.
Нам представляется, что наличие такого курса позволит заинтересованным в математике (а, особенно в геометрии) второкурсникам получить более полную картину "элементарной" (то есть не использующей гладкой структуры) геометрии. Кроме того, несмотря на свою значимость для современной геометрии, незаслуженно забытой в рамках стандартных курсах курсов, оказывается, геометрия Лобачевского. Данным курсом мы надеемся ликвидировать и этот пробел.
План курса:
Лекция 1
Геометрия на псевдосфере мнимого радиуса. Группа движений.
Лекция 2
Стереографическая проекция псевдосферы. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского в единичном круге и в верхней полуплоскости. Группы движений.
Лекция 3
Метрические соотношения в геометрии Лобачевского: теоремы синусов и косинусов, формулы для длины окружности и площади круга. Неизометричность евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
Лекция 4
Модель Клейна геометрии Лобачевского. Связь с моделью Пуанкаре.
Лекция 5
Три типа собственных движений геометрии Лобачевского.
Лекция 6
Замощение треугольниками сферы и плоскости Лобачевского. Модулярная группа, ее фундаментальная область
Лекция 7
Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике на плоскости Лобачевского.
Лекция 8
Пространство Лобачевского.
Лекция 9
Выпуклые множества в аффинном пространстве, выпуклые многогранники.
Лекция 10
Теорема Минковского Вейля о выпуклых многогранниках.
Лекция 11
Плюккеровы координаты подпространства, грассманиан. Вложение грассманиана в проективное пространство. Соотношения Плюккера.
Лекция 12
Пфаффиан и его свойства.
Лекция 13
Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.
