Смолянов Олег Георгиевич
«Бесконечномерный анализ в квантовой теории и статистической механике»
Описание курса:
Формирование бесконечномерного анализа было завершено в последней четверти прошлого века. Первые идеи бесконечномерного анализа восходят к работам В. Вольтерры, П. Леви и Д. Гильберта. Современная форма бесконечномерному анализу была придана в работах С.В. Фомина - одного из выдающихся учеников А.Н. Колмогорова.
К числу важных объектов бесконечномерного анализа принадлежат гладкие меры на бесконечномерных пространствах. Определение таких мер было введено в докладе С.В. Фомина на Московском международном конгрессе математиков в 1966 году. Необходимость развития анализа для мер на бесконечномерных пространствах связана с отсутствием на таких пространствах счетно-аддитивной меры, аналогичной мере Лебега. В приложениях ее приходится заменять другими мерами, и для развития анализа в пространствах, интегрируемых по этим мерам функций, оказывается необходимым использовать аналитические свойства этих мер. Кроме того, из-за отсутствия на бесконечномерных пространствах счетно-аддитивной меры, аналогичной мере Лебега, не существует естественной двойственности между парами пространств функций, определенных на таких пространствах. Она заменяется двойственностью между пространствами функций и пространствами мер. Это является еще одним объяснением того, почему в бесконечномерном случае анализ для мер следует рассматривать одновременно с анализом для функций. Однако недавно было предложено использовать инвариантную относительно сдвигов обобщенную меру, которая была названа обобщенной мерой Лебега-Фейнмана. Использование такой обобщенной меры позволяет привести в двойственность некоторые пространства функций, определенных на бесконечномерном пространстве.
В настоящее время бесконечномерный анализ может рассматриваться как одно из основных технических средств построения и исследования математических моделей, применяемых в квантовой теории, статистической механике, гидродинамике и других разделах механики сплошных сред. Кроме того, появляющиеся при этом конструкции представляют значительный внутри математический интерес. Бесконечномерный анализ полностью поглощает то, что иногда называют нелинейным функциональным анализом. Можно сказать также, что классический функциональный анализ – это бесконечномерное обобщение классической линейной алгебры, тогда как бесконечномерный анализ - это бесконечномерное обобщение классического анализа.
Спецкурс будет посвящен описанию внутренних структур бесконечномерного анализа и его применениям при построении математических моделей, используемых в квантовой теории поля и статистической механике.
Курс является междисциплинарным, и можно ожидать, что его знание позволит успешно заниматься как чисто математическими аспектами бесконечномерного анализа, так и его применениями в области квантовой теории, в том числе, квантовой гравитации, а также в статистической механике.
План курса:
1. Математическая модель квантовой механики. Равносильность определений оператора плотности, принадлежащих Дж. фон Нейману и Л.Д. Ландау.
2. Неравенство Белла и парадокс Энштейна-Подольского-Розена в форме Д.Бома.
3. Квантование и вторичное квантование гамильтоновых систем.
4. Гладкие меры на векторных пространствах.
5. Поверхностные меры на подмногообразиях (бесконечномерных) векторных пространств с гладкими мерами. Примеры обладающих бесконечной размерностью и коразмерностью подмногообразий локально-выпуклых пространств. Одним из таких примеров является множество функций вещественного аргумента, принимающих значения в римановом подмногообразии евклидова пространства Е; это множество функций является подмногообразием в векторном пространстве, состоящем из функций вещественного аргумента, принимающих значения в Е.
6. Дифференцирование мер вдоль векторных полей. Логарифмические производные мер вдоль векторных полей.
7. Обобщенные меры и их дифференцирование. Логарифмические производные обобщенных мер вдоль векторных полей. Квантовые аномалии.
8. Различные типы мер Фейнмана и их определения.
9. Лагранжева и гамильтонова меры Фейнмана. Использование лагранжевых и гамильтоновых мер Фейнмана для представления решений эволюционных дифференциальных уравнений и регуляризованных следов дифференциальных операторов.
10. Дифференцирование мер Фейнмана вдоль векторов и векторных полей.
11. Теорема Чернова и формулы Фейнмана.
12. Обобщенные гамильтоновы системы (системы Гамильтона-Дирака).
13. Математические модели, описывающие калибровочные поля.
14. Уравнения относительно мер, описывающие динамику состояний в неравновесной статистической механике.
15. Вывод цепочки уравнений Боголюбова.
