Солодов Алексей Петрович
Описание курса:
Курс «Дополнительные главы математического анализа» рассчитан на студентов первого курса и органически вплетается в действующую программу основного курса «Математический анализ». Он содержит как дополнительные разделы, расширяющие кругозор слушателей в области классического анализа и теории функций, так и задачи повышенного уровня сложности по разделам, традиционно изучаемым в основном курсе.
В курсе будут рассмотрены классические вопросы теории интегрирования. Слушатели пройдут по всем этапам развития теории интеграла, начиная с задачи Ньютона о восстановлении закона движения, задачи Коши и Лейбница о вычислении предела сумм, совпадения решений этих задач на классе непрерывных функций, и заканчивая современным состоянием теории интеграла.
План курса:
Программа курса «Дополнительные главы математического анализа»
1. Интеграл Ньютона. Единственность, линейность, аддитивность. Необходимое условие интегрируемости (свойство Дарбу). Пример неограниченной функции, интегрируемой по Ньютону. Примеры неинтегрируемых функций.
2. Обобщенный интеграл Ньютона. Единственность, линейность, аддитивность. Примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций. Границы обобщения интеграла Ньютона. Лестница Кантора. (N)-свойство Лузина.
3. Функции ограниченной вариации (VB-функции). Два эквивалентных определения. Пример интегрируемой по Ньютону функции, первообразная которой имеет неограниченную вариацию. Функции обобщенной ограниченной вариации (VBG*-функции). Принадлежность первообразной интегрируемой по Ньютону функции классу VBG*.
4. Интегралы римановского типа: Римана, Мак-Шейна, Хенстока как пределы по базе. Лемма о разбиении. Единственность, линейность, аддитивность. Слабая и сильная леммы Колмогорова-Сакса-Хенстока. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману как частный случай сильной леммы. Интеграл Римана как самый слабый из интегралов римановского типа. Абсолютная интегрируемость интеграла Мак-Шейна. Неабсолютная интегрируемость интеграла Хенстока.
5. Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывной функции и функции ограниченной вариации. Множество меры нуль по Лебегу. Эквивалентность критерия Дарбу и критерия Лебега интегрируемости по Риману.
6. Взаимоотношение интегралов римановского и ньютоновского типа. Формула Ньютона-Лейбница как совпадение значений интегралов римановского и ньютоновского типа на классе непрерывных функций. Непротиворечивость интегралов римановского и ньютоновского типов. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница. Пример интегрируемой по Ньютону функции, неинтегрируемой по Мак-Шейну. Пример ограниченной, интегрируемой по Ньютону функции, неинтегрируемой по Риману. Пример интегрируемой по Риману функции, неинтегрируемой по Ньютону в обобщенном смысле. Интегрируемость по Хенстоку интегрируемой функции по Ньютону в обобщенном смысле.
7. Теорема Витали о покрытиях. Дифференцируемость неопределенного интеграла Хенстока почти всюду. Принадлежность неопределенного интеграла Хенстока классу VBG*. Выполнение для неопределенного интеграла Хенстока (N)-свойства Лузина.
8. Понятие несобственного интеграла. Теорема Хаке-Александрова-Лумана в частном случае.
9. Вычисление определенных интегралов при помощи интегральных сумм и замен переменных. Вычисление пределов сумм при помощи интеграла Римана. Формула суммирования Маклорена. Вывод формул Валлиса и Стирлинга. Иррациональность числа. Вычисление суммы ряда обратных квадратов. Вычисление интеграла Эйлера-Пуассона.
10. Введение в асимптотические методы. Исследование асимптотического поведения интеграла с переменным верхним пределом при помощи разложения подынтегральной функции, а также при помощи интегрирования по частям. Исследование асимптотики последовательностей вида элементарными методами (без использования теоремы Лапласа). Уточнение формул Валлиса и Стирлинга.
