Солодов Алексей Петрович
Описание курса:
Данный курс рассчитан на студентов первого и второго курса и органически вплетается в действующую программу основного курса «Математический анализ». Он содержит как дополнительные разделы, расширяющие кругозор слушателей в области классического анализа и теории функций, так и задачи повышенного уровня сложности по разделам, традиционно изучаемым в основном курсе. Поэтому при чтении курса предполагается совмещать теоретический материал с решением задач.
На наш взгляд, педагогический процесс должен быть устроен так, чтобы переход к изучению более продвинутых методов осуществлялся только после исчерпания ресурса имеющихся. Преждевременно, скажем, переходить к исследованию оценок сумм при помощи интегралов, не задействовав в полной мере теорию последовательностей. Рано приступать к вычислению несобственных интегралов при помощи вычетов, не изучив внутренние возможности действительного переменного: тонкие подстановки и преобразования, введение параметра. Поспешно переходить к изучению основы теории функций - мере и интегралу Лебега, понятию абсолютной непрерывности, не разобравшись в достаточной степени с мерой Жордана, более просто устроенными интегралами Ньютона и Римана, классами равномерно непрерывных функций и функций ограниченной вариации.
Данный принцип положен в основу предлагаемого курса. На протяжении всего курса мы умышленно избегаем понятий меры Лебега (за исключением множества меры нуль, естественно возникающего в теории интеграла Римана), интеграла Лебега, аналитической функции. Комплексные числа будут возникать исключительно на уровне элементарной алгебры: при нахождении корней многочленов, при суммировании геометрического ряда и т.д. В то же время ресурсы элементарного анализа будут продемонстрированы в максимально полном объеме. Как результат, более глубокие методы курсов «Действительный анализ», «Функциональный анализ», «Комплексный анализ», будут восприниматься не как ненужная абстракция, а как необходимый, долгожданный аппарат для решения задач, с которыми не справляется элементарный анализ.
Предлагаемый курс задуман как продолжение спецкурса «Дополнительные главы математического анализа. Введение в теорию интеграла», прочитанного в весеннем семестре 2018/2019 учебного года. В его первой части были рассмотрены классические вопросы теории интегрирования. Слушатели прошли по всем этапам развития теории интеграла, начиная с задачи Ньютона о восстановлении закона движения, задачи Коши и Лейбница о вычислении предела сумм, совпадения решений этих задач на классе непрерывных функций, и заканчивая современным состоянием теории интеграла.
В продолжении курса планируется познакомить слушателей с тонкими методами исследования вопросов сходимости и равномерной сходимости, с основными типами функциональных рядов, степенными и тригонометрическими, их применением к вычислению значений сумм и интегралов. Будет продемонстрирована мощь параметрического метода в теории интеграла на широком многообразии примеров точно вычисляемых значений сумм и интегралов.
План курса:
Программа курса «Избранные задачи математического анализа»
1. Числовые ряды и бесконечные произведения с неотрицательными членами. Связь между сходимостью последовательности, ряда из разностей и произведения отношений ее членов. Особенности шкалы роста и убывания последовательностей. Асимптотика частичного произведения, теорема Гаусса.
2. Преобразование Абеля и интегрирование по частям. Их роль в вопросах исследования сходимости числовых рядов и несобственных интегралов. Связь между сходимостью рядов и интегралов.
3. Множества первой и второй категории. Теорема Бэра. Поточечная сходимость. Структура множества точек разрыва поточечного предела последовательности непрерывных функций. Классы Бэра.
4. Роль преобразования Абеля и интегрирования по частям в вопросе исследования равномерной сходимости функциональных рядов и несобственных интегралов, зависящих от параметра. Различие синус- и косинус-рядов с монотонными коэффициентами. Теорема Чоунди-Джолиффе.
5. Роль преобразования Абеля в вопросе исследования дифференциальных свойств суммы функционального ряда. Роль интегрирования по частям и замены переменной в вопросе исследования дифференциальных свойств несобственного интеграла, зависящего от параметра.
6. Суммирование рядов методом средних арифметических. Теорема Чезаро о регулярности и вполне регулярности метода средних. Суммирование расходящихся рядов. Необходимое условие суммируемости. Суммирование рядов методом Абеля. Теорема Фробениуса. Суммирование расходящихся рядов. Необходимое условие суммируемости. Вычисление сумм сходящихся числовых рядов методом Абеля. Ядро Пуассона.
7. Вычисление интегралов с помощью формул Фруллани, разложения подынтегральной функции в ряд, предельным переходом под знаком интеграла, дифференцированием и интегрированием по параметру.
8. Функции ограниченной вариации (VB-функции). Два эквивалентных определения. Пример интегрируемой по Ньютону функции, первообразная которой имеет неограниченную вариацию. Функции обобщенной ограниченной вариации (VBG*-функции). Принадлежность первообразной интегрируемой по Ньютону функции классу VBG*.
9. Теорема Витали о покрытиях. Дифференцируемость неопределенного интеграла Хенстока почти всюду. Принадлежность неопределенного интеграла Хенстока классу VBG*. Выполнение для неопределенного интеграла Хенстока (N)-свойства Лузина.
10. Специальные функции. Эллиптические функции: эллиптические интегралы I-го и II-го рода, представление эллиптических функций степенными рядами, составление дифференциальных и интегральных уравнений. Цилиндрические функции: функции Бесселя целого индекса, представление функции Бесселя степенными рядами, составление дифференциальных и интегральных уравнений. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: непрерывность, бесконечная дифференцируемость, выпуклость, асимптотические свойства, основные формулы для гамма-функции, вычисление гамма-функции для целых и полуцелых значений аргумента, вычисление первой и второй производной гамма-функции для целых и полуцелых значений аргумента, вычисление интеграла Эйлера-Пуассона. Бета-функция: непрерывность, бесконечная дифференцируемость, формула понижения. Связь между гамма-и бета-функциями.
11. Вычисление интегралов с помощью свойств эйлеровых интегралов: сведение интегралов к эйлеровым посредством замены переменной и интегрирования по частям; сведение интегралов к эйлеровым при помощи предельного перехода; сведение интегралов к эйлеровым дифференцированием по параметру; сведение интегралов к эйлеровым интегрированием по параметру.
