Талалаев Дмитрий Валерьевич
«Квантовый метод обратной задачи и некоммутативная геометрия»
Описание курса:
Назначение курса - знакомство с методами, алгебраическими структурами, положенными в основу квантового метода обратной задачи (КМОЗ). Помимо своего непосредственного значения - описания и решения многочисленных квантово-механических моделей, таких как модель магнетика Гейзенберга и многих других, собственно техника этого метода оказалась довольно универсальной в общематематическом смысле, алгебры Хопфа - это одна из базовых алгебраических структур, уравнение Янга-Бакстера имеет характер мета-тождества, проявляется в топологии, комбинаторике и статистической механике. Помимо классических понятий КМОЗ мы уделим особое внимание их модификациям, обобщениям; в том числе матрицам Манина, полуквантовым алгебрам, классификационным результатам, использующим соответствующие теории когомологий. Особое внимание будет уделено геометрической интерпретации конструкций и инструментов КМОЗ, прежде всего они относятся к области некоммутативной алгебраической геометрии. В курсе также будут обсуждаться кластерные многообразия и комбинаторика гиперкуба в контексте приложений КМОЗ к точно-решаемым моделям статистической физики.План курса:
Лекция 1
Краткое введение в теорию классических интегрируемых систем
Лекция 2
Деформационное квантование и некоммутативная геометрия
Лекция 3
Классические алгебраические структуры теории интегрируемых систем
3.1. Пуассоновы алгебры
3.2. Ли-биалгебры
3.3. Кограничные Ли-биалгебры
3.4. Группы Ли-Пуассона
Лекция 4
Квантовые алгебраические структуры
4.1. Биалгебры
4.2. Алгебры Хопфа
4.3. Кограничные биалгебры и уравнение Янга-Бакстера
Лекция 5
Квантовый метод обратной задачи
5.1. Алгебры Решетихина-Тахтаджяна
5.2. Матрицы Манина и полуквантовые алгебры
5.3. Коммутативные семейства
5.4. Тождество Гамильтона-Кэли
5.5. Тождество Капелли
Лекция 6
Приложения в статистической механике
6.1. Точно-решаемые модели статистической механики и интегрируемые модели КМОЗ
6.2. Многомерные аналоги уравнения Янга-Бакстера и алгебраическая теория электрических сетей
