Тимашев Дмитрий Андреевич
«Структура групп и алгебр Ли»
Описание курса:
Группы Ли были введены в математику Софусом Ли первоначально как группы симметрий дифференциальных уравнений, но впоследствии получили широкое распространение и применение в большинстве разделов геометрии, теории представлений и математической физики. Основная заслуга С. Ли состоит в разработке функториального соответствии между группами Ли и их касательными алгебрами Ли. Группы и алгебры Ли, их структура и теория представлений являются важной частью теоретического багажа современного математика. Владение не только основами общей теории, но и развитой техникой групп и алгебр Ли является необходимым для практического применения этих понятий в других математических дисциплинах и в теоретической физике.
Цель курса — построить структурную теорию групп и алгебр Ли, основываясь на общих результатах и конструкциях теории Ли. Будут рассмотрены и изучены основные теоретико-лиевские конструкции (коммутант, радикал, замыкание Мальцева), исследованы основные классы групп Ли и алгебр Ли (коммутативные, разрешимые, полупростые) и их структурные свойства. Кульминацией курса будет классификация полупростых групп и алгебр Ли на основе замечательных комбинаторно-геометрических объектов, называемых системами корней. Для этой цели и исходя из важности в иных приложениях, мы разработаем структурную теорию и теорию представлений полупростых алгебр и групп Ли.
Основная методологическая идея курса заключается в изучении групп и алгебр Ли в их единстве: функтор Ли позволяет делать выводы о свойствах более сложных (нелинейных) объектов — групп Ли — на основе изучения более простых (линейных) объектов — алгебр Ли. С другой стороны, некоторые понятия и результаты в теории алгебр Ли приобретают естественный смысл и допускают концептуальные и простые доказательства, если их рассматривать с точки зрения соответствующих групп Ли. Можно сказать, что понятие алгебры Ли (по крайней мере, конечномерной) становится естественным только в связке с группами Ли. Этот принцип будет систематически использоваться при построении структурной теории групп и алгебр Ли.
План курса:
1. Классификация связных коммутативных вещественных групп Ли. Коммутант группы и алгебры Ли, разрешимость групп и алгебр Ли.
2. Замыкание Мальцева, его свойства. Радикал групп и алгебр Ли. Полупростые группы и алгебры Ли.
3. Комплексификация и вещественные формы алгебр Ли и групп Ли.
4. Теоремы Ли и Энгеля, их следствия.
5. Инвариантные скалярные умножения на алгебрах Ли. Форма Киллинга. Критерий Картана разрешимости и полупростоты алгебр Ли. Разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых идеалов.
6. Элемент и оператор Казимира. Теорема Вейля о полной приводимости представлений полупростой алгебры Ли.
7. Автоморфизмы и дифференцирования полупростых алгебр Ли. Разложение Жордана в полупростой комплексной алгебре Ли.
8. Теория представлений алгебры Ли sl(2) и группы Ли SL(2).
9. Подалгебры Картана и корневое разложение полупростой комплексной алгебры Ли. Свойства системы корней полупростой алгебры Ли.
10. Абстрактные системы корней и их простейшие свойства. Группа Вейля. Положительные, отрицательные и простые корни.
11. Разложение системы корней на компоненты. Матрицы Картана и диаграммы Дынкина. Классификация систем корней.
12. Регулярные элементы в полупростой алгебре Ли. Сопряжённость картановских подалгебр. Образующие Шевалле полупростой алгебры Ли.
13. Свободные алгебры Ли. Задание алгебр Ли образующими и соотношениями. Классификация комплексных полупростых алгебр Ли и групп Ли.
14. Система весов линейного представления полупростой алгебры Ли. Подалгебры Бореля. Старшие векторы и старшие веса. Доминантные и фундаментальные веса.
15. Свойства модуля, порождённого старшим вектором. Классификация неприводимых линейных представлений. полупростых алгебр Ли.
