Тимашев Дмитрий Андреевич
«Алгебраические группы и теория инвариантов»
Описание курса:
Цель настоящего курса — дать развёрнутое введение в теорию алгебраических групп и теорию инвариантов. Наша задача состоит в том, чтобы сформировать у слушателей фундамент для более глубокого изучения алгебраических групп и их инвариантов, и применения полученных знаний в других областях.
Идея курса состоит в том, что в нём теория алгебраических групп рассматривается с акцентом на их роль как групп преобразований и в единстве с теорией инвариантов. Многие фундаментальные задачи теории инвариантов в узком смысле этого термина (изучение алгебр инвариантных многочленов на линейных представлениях алгебраических групп, задание этих алгебр в конкретных примерах образующими и соотношениями, качественное описание многообразий уровня инвариантов с точки зрения геометрической структуры и разбиения на орбиты и др.) к настоящему времени уже решены, и на первый план выходит более общая теория алгебраических групп преобразований. Поэтому в предлагаемом спецкурсе больше внимания будет уделено структурной теории алгебраических групп и их действий на алгебраических многообразиях.
Однако теория инвариантов в классическом понимании тоже не будет обойдена вниманием. Наряду с современным геометрическим подходом, основанным на понятии фактора (геометрического и категорного, включающего фактор Мамфорда) будет рассмотрена с современной точки зрения и классическая теория инвариантов систем тензоров, не утратившая актуальности по настоящее время. Мы рассмотрим как классические, так и современные методы теории в их единстве, и применим их к решению конкретных проблем.
План курса:
Лекция 1
Алгебраические группы, их гладкость. Алгебраические группы являются группами Ли. Подгруппы, прямые произведения, связные компоненты алгебраической группы. Алгебраичность группы, порождённой семейством неприводимых множеств. Коммутант алгебраической группы.
Лекция 2
Гомоморфизмы алгебраических групп, ядро и образ гомоморфизма. Действия алгебраических групп, свойства орбит и стабилизаторов. Рациональные представления. Представление в алгебре регулярных функций на многообразии, где действует группа.
Лекция 3
Линеаризуемость алгебраических групп и их действий на аффинных многообразиях. Однородные пространства, теорема Шевалле. Факторгруппы алгебраических групп.
Лекция 4
Касательная алгебра Ли алгебраической группы, функтор Ли. Касательные пространства к орбитам. Касательные алгебры ядер, образов и прообразов при гомоморфизмах, пересечений алгебраических групп.
Лекция 5
Биекция между связными алгебраическими подгруппами и их касательными алгебрами Ли. Связь между линейными представлениями алгебраических групп и их алгебр Ли. Присоединённое представление. Нормальные подгруппы и идеалы в алгебре Ли. Централизаторы и центр алгебраической группы.
Лекция 6
Разложение Жордана в алгебраической группе и в её касательной алгебре Ли. Алгебраические торы и квазиторы.
Лекция 7
Разрешимые группы: теорема Бореля о неподвижной точке, теорема Ли-Колчина. Унипотентные группы. Расщепление связной разрешимой группы.
Лекция 8
Борелевские подгруппы, максимальные унипотентные подгруппы и максимальные торы, их сопряжённость. Разрешимый и унипотентный радикалы. Полупростые и редуктивные группы.
Лекция 9
Геометрический фактор: примеры и необходимые условия существования. Теорема Розенлихта о разделении орбит рациональными инвариантами. Поле рациональных инвариантов, рациональный фактор. Существование геометрического фактора на открытом подмножестве.
Лекция 10
Теорема Гильберта об инвариантах. Категорный фактор аффинного многообразия по действию редуктивной группы. Свойства морфизма факторизации.
Лекция 11
Инварианты и факторы для конечных групп.
Лекция 12
Нуль-конус, критерий Гильберта-Мамфорда. Сравнение слоёв морфизма факторизации с нуль-конусом, асимптотические конусы.
Лекция 13
Классическая теория инвариантов систем тензоров: поляризация, примитивные инварианты систем векторов и ковекторов.
Лекция 14
Классическая теория инвариантов групп GL(n), SL(n), O(n), SO(n) и Sp(n). Инварианты системы линейных операторов.
Лекция 15
Хорошие факторы по действиям редуктивных групп. Полустабильные и стабильные точки проективного действия, фактор Мамфорда.
